难点03 反比例函数与几何综合（相似三角形及新定义）-2024年中考数学【热点•重点•难点】专练（四川成都专用）

难点03 反比例函数与几何综合 反比例函数与几何综合是四川成都中考数学的必考考点，常见以A卷解答题压轴题的形式，主要是考查反比例函数图像与性质问题，与三角形、四边形综合，相似三角形等，一般出现在中考的A18题，以难度大为主，知识点比较综合，平时多练习总结思路。 【题型一 反比例函数相似三角形问题】 满分技巧 考查直线与坐标轴的交点，求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，反比例函数综合几何问题，三角形的面积公式，位似的性质等知识，综合性大，利用联立方程组求交点和掌握位似的性质是解题的关键． 【例1】（2023·四川成都·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l．    (1)求点A的坐标及反比例函数的表达式； (2)若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标； (3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值． 【变式1-1】（2023·四川成都·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)分别求一次函数及反比例函数的表达式； (2)在第三象限内的B点右侧的反比例函数图象上取一点P，连接且满足． i）求点P的坐标； ii）过点A作直线，在直线l上取一点Q，且点Q位于点A的左侧，连接，试问：能否与相似？若能，求出此时点Q的坐标；若不能，请说明理由． 【变式1-2】（2022·四川成都·四川省成都市七中育才学校校考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与轴正半轴交于点，与反比例函数交于点，且，∥x轴交反比例函数于点． (1)求、的值； (2)如图，若点为线段上一点，设的横坐标为，过点作∥，交反比例函数于点若，求的值． (3)如图，在的条件下，连接并延长，交轴于点，连接，在直线上方是否存在点，使得与相似不含全等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-3】（2022·四川成都·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于F，E两点，与反比例函数的图象交于点和点B． (1)求反比例函数解析式和B点坐标； (2)如图1，连接OA，P为线段OF上一点，使得，求P点坐标； (3)在反比例函数图象上是否存在一点M（不与A重合），直线AM分别与x轴，y轴交于点C，D两点，使得以A，C，F为顶点的三角形与相似，若存在，请求出此时直线AM的解析式；若不存在，请说明理由． 【题型2 反比例函数与新定义问题】 满分技巧 考查一次函数与反比例函数的综合，利用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式，平面直角坐标系中两点间距离公式，相似三角形的判定与性质等知识，采用分类讨论的思想和待定系数法求解析式是解决本题的关键． 【例2】（2022·四川成都·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)过点作直线，交反比例函数图象于另一点，连接，当线段被轴分成长度比为的两部分时，求的长； (3)我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设是第三象限内的反比例函数图象上一点，是平面内一点，当四边形是完美筝形时，求，两点的坐标． 【变式2-1】（2023·四川成都·校考三模）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点，与反比例函数的图像交于，两点．    (1)求一次函数和反比例函数的表达式： (2)点是反比例函数图像在第一象限上的点，且，请求出点的坐标； (3)反比例函数具有对称性，适当平移就可发现许多神奇的现象．将该双曲线在第一象限的一支沿射线方向平移，使其经过点，再将双曲线在第三象限的一支沿射线方向平移，使其经过点，平移后的两条曲线相交于，两点，如图2，此时平移后的两条曲线围成了一只美丽的“眸”，为这只“眸”的“眸径”，请求出“眸径”的长． 【变式2-2】（2023·四川成都·二模）如图，已知一次函数分别与x轴和反比例函数交于点．    (1)求b和k； (2)C为直线上一动点，过点C作x轴的平行线，与反比例函数交于点D，若四边形为平行四边形，求点C的坐标； (3)我们把两直角边比为1：2的直角三角形称为“黄金直角三角形”，点P为x轴上一动点，Q为反比例函数上一点，当三角形是以为斜边的“黄金直角三角形”时，求点P的坐标． 【变式2-3】（2023·四川成都·统考二模）一次函数与反比例函数（，k为常数）的图象交点为和点B，点C是反比例函数（，k为常数）在第三象限内的图象上一点． 图1