江苏省苏州市2023-2024学年第二学期高一年级数学4月期中摸底调研卷（九省联考题型）

2023-2024年第二学期高一年级4月期中摸底调研 数学学科 （总分：150分；考试时长：120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设（其中为虚数单位），若为纯虚数，则实数（ ▲ ） A． B． C． D． 2．若，则（ ▲ ） A． B． C． D． 3．已知等边三角形的边长为1，设，，，那么（ ▲ ） A．3 B． C． D． 4．已知，则（ ▲ ） A． B． C． D． 5．等腰三角形底和腰之比为黄金分割比的三角形称为黄金三角形，它是最美的三角形.例如，正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成，且每个黄金三角形都是顶角为36°的等腰三角形，如图所示：在黄金角形ABC中，，根据这些信息，可求得的值为（ ▲ ） A． B． C． D． 6．已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ▲ ） A． B． C． D． 7．在中，，则（ ▲ ） A． B． C． D． 8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，且，则△ABC面积的最大值是（ ▲ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ▲ ） A．已知均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得 B．已知非零向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 C．若且，则 D．若点为的重心，则 10．已知i为虚数单位，以下说法正确的是（ ▲ ） A． B．复数的虚部为2 C．复数在复平面对应的点在第一象限 D．为纯虚数，则实数 11．由倍角公式可知，可以表示为的二次多项式．一般地，存在一个次多项式（，，…，），使得，这些多项式称为切比雪夫（P．L．Tschebyscheff）多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得（ ▲ ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．定义一种运算如下：，则复数的共轭复数是 ▲ ． 13．已知，则 ▲ ， ▲ . 14．已知非零向量，，对任意实数，恒成立，则的取值范围是 ▲ ． 四、解答题：解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知向量，. (1)求与夹角的余弦值； (2)若，求的值. 16．在①；②复平面上表示的点在直线上；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答： 已知复数；（为虚数单位），满足 . （1）若，求复数以及； （2）若是实系数一元二次方程的根，求实数的值 17．在中，角，，所对的分别为，，．向量，，且． (1)求的值； (2)若，，求的面积 18．重庆、武汉、南京并称为三大“火炉”城市，而重庆比武汉、南京更厉害，堪称三大“火炉”之首.某人在歌乐山修建了一座避暑山庄（如图）.为吸引游客，准备在门前两条夹角为（即）的小路之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知弓形花园的弦长且点，落在小路上，记弓形花园的顶点为，且，设.      （1）将，用含有的关系式表示出来； （2）该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何规划花园（即，长度），才使得喷泉与山庄距离即值最大？ 19．设正的边长为为的外心，为边上的等分点，为边上的等分点，为边上的等分点. (1)当时，求的值； (2)当时. （i）求的值（用表示）； （ii）求的最大值与最小值. 参考答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．D 2．B 3．D 4．A 5．C 6．A 7．B 8．C 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．AD 10．AD 11．BC 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 12． 13． 2 / 14． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（1）解：由向量，，可得，且， 所以与夹角的余弦值. （2）解：由， 可得， 即，解得. 16．选条件①：. 因为，所以， 解得，又，所以； 选条件②：复平面上表示的点在直线上. 因为， 所以，其表示的点为， 有，解得； 选条件③：. 因为，所以， 所以，解得. (1)，； (2)是实系数一元二次方程的根， 则也是该方程的