大题强化及变式训练（10）-2024届高三数学二轮复习大题强化及变式训练（新高考九省联考题型）

2024届大题强化训练及变式训练（10） 1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）若，，求； （2）点D在边上，，若，，求a． 变式：蜀绣又名“川绣”，与苏绣，湘绣，粤绣齐名，为中国四大名绣之一，蜀绣以其明丽清秀的色彩和精湛细腻的针法形成了自身的独特的韵味，丰富程度居四大名绣之首．1915年，蜀绣在国际巴拿马赛中荣获巴拿马国际金奖，在绣品中有一类具有特殊比例的手巾呈如图所示的三角形状，点D为边BC上靠近B点的三等分点，，． （1）若，求三角形手巾的面积； （2）当取最小值时，请帮设计师计算BD的长． 2．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，为等边三角形，点M，N分别为AB，PC的中点． （1）证明：直线平面PAD； （2）当二面角为120°时，求直线MN与平面PCD所成的角的正弦值． 变式：在如图所示的三棱锥中，分别是线段的中点，且. （1）证明：直线平面; （2）若二面角的大小为，求直线和平面所成角的余弦值. 3．已知函数，，. （1）求的单调递增区间； （2）求的最小值； （3）设，讨论函数的零点个数. 变式：已函数，其图象的对称中心为. （1）求的值； （2）判断函数的零点个数. 4．已知在一个不透明的盒中装有一个白球和两个红球（小球除颜色不同，其余完全相同），某抽球试验的规则如下：试验者在每一轮需有放回地抽取两次，每次抽取一个小球，从第一轮开始，若试验者在某轮中的两次均抽到白球，则该试验成功，并停止试验.否则再将一个黄球（与盒中小球除颜色不同，其余完全相同）放入盒中，然后继续进行下一轮试验. （1）若规定试验者甲至多可进行三轮试验（若第三轮不成功，也停止试验），记甲进行的试验轮数为随机变量，求的分布列和数学期望； （2）若规定试验者乙至多可进行轮试验（若第轮不成功，也停止试验），记乙在第轮使得试验成功的概率为，则乙能试验成功的概率为，证明：. 变式：某学校食堂每天中午为师生提供了冰糖雪梨汤和苹果百合汤，其均有止咳润肺的功效．某同学每天中午都会在两种汤中选择一种，已知他第一天选择冰糖雪梨汤的概率为，若前一天选择冰糖雪梨汤，则后一天继续选择冰糖雪梨汤的概率为，而前一天选择苹果百合汤，后一天继续选择苹果百合汤的概率为，如此往复． （1）求该同学第二天中午选择冰糖雪梨汤概率． （2）记该同学第天中午选择冰糖雪梨汤的概率为，证明：为等比数列． （3）求从第1天到第10天中，该同学中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤概率的天数． 5．已知椭圆：（，）的左、右焦点分别为、，离心率为，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点（其中点在轴上方），的周长为8． （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直． ①若，求异面直线和所成角的余弦值； ②是否存在，使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 变式：直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线. （1）若圆是直线族的包络曲线，求满足的关系式； （2）若点不在线族：的任意一条直线上，求的取值范和直线族的包络曲线； （3）在（2）的条件下，过曲线上两点作曲线的切线，其交点为.已知点，若三点不共线，探究是否成立？请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024届大题强化训练及变式训练（10） 1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）若，，求； （2）点D在边上，，若，，求a． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据余弦定理求出，再利用正弦定理求出； （2）在，中分别利用余弦定理列式可得，再由条件切化弦，根据正、余弦定理化简得，运算求得. 【解析】（1）在中，，， 由余弦定理得，即，所以． ， 由正弦定理，得，所以． （2）因为，，所以，． 在中，由余弦定理得，即， 在中，由余弦定理得，即， 所以，即① 因为，所以．又，由正弦定理得， ，即，则② 联立①②可得，所以． 变式：蜀绣又名“川绣”，与苏绣，湘绣，粤绣齐名，为中国四大名绣之一，蜀绣以其明丽清秀的色彩和精湛细腻的针法形成了自身的独特的韵味，丰富程度居四大名绣之首．1915年，蜀绣在国际巴拿马赛中荣获巴拿马国际金奖，在绣品中有一类具有特殊比例的手巾呈如图所示的三角形状，点D为边BC上靠近B点的三等分点，，． （1）若，求三角形手巾的面积； （2）当取最小值时，请帮设计师计算BD的长． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）由正弦定理求得的长，即可得的长，