2024年中考数学二轮复习—— 角分线模型 讲义 　

2024年中考数学二轮复习—— 角平分线模型 例1．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F．直接写出线段EF与BE，CF之间的数量关系：　 　． （2）如图2，若△ABC中∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于点O，过O点作OE∥BC交AB于点E，交AC于点F．则EF与BE，CF之间的数量关系又如何？说明你的理由． 解：（1）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB， ∵EF∥BC， ∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB， ∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO， ∴EB＝EO，FC＝FO， ∵EF＝EO+FO， ∴EF＝EB+FC， 故答案为：EF＝EB+FC； （2）EF＝BE﹣CF， 理由是：∵BO平分∠ABC， ∴∠ABO＝∠OBC， ∵EF∥BC， ∴∠EOB＝∠OBC， ∴∠EBO＝∠EOB， ∴EB＝EO， 同理可得：FO＝CF， ∵EF＝EO﹣FO， ∴EF＝BE﹣CF． 例2．如图1，已知∠BOC＝120°，△MON是含30°角的直角三角板，其直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方． （1）将三角板按图2位置放置，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，若∠AOD＝∠BON，问：此时直线ON是否平分∠AOC？请说明理由． （2）将三角板按图3位置放置，此时发现，当ON在∠AOC的内部时，绕点O旋转三角板△MON，∠AOM与∠NOC的差值不变，请你写出这个差值，即∠AOM﹣∠NOC＝　 　°． 解：（1）直线ON平分∠AOC，理由如下： ∵∠AOD＝∠BON， ∴OD和ON在一条直线上， 又∵OM平分∠BOC， ∴∠MOC＝∠MOB∠BOC120°＝60°， ∵∠MOD＝∠MON＝90°， ∴∠COD＝90°﹣∠MOC＝30°， ∵∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝60°， ∴∠COD∠AOC， ∴直线ON平分∠AOC； （2）∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°， ∴∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝60°﹣∠AON， ∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°． 例3．【问题背景】：数学活动课上，老师将一副三角尺按图1所示位置摆放，分别作出∠AOB，∠BOC的平分线OG，OF，然后提出如下问题：求出∠GOF的度数． 【特例探究】：小明同学决定从特例入手探究老师提出的问题，他将三角尺分别按图2方式摆放，OG，OF仍然分别是∠AOB，∠BOC的角平分线．其中∠AOC＝90°，∠BOC＝30°． （1）请你帮助小明计算出∠GOF的度数为 　 　°； 【发现感悟】：小明发现，按图1摆放时，条件不变，虽然不知道∠BOC的度数，但也可以求出∠GOF的度数． （2）请你帮小明完成这个问题的解答； （3）积累了以上探究问题的经验，结合图3，若∠AOC＝m°，则∠GOF＝　 　°； 【类比拓展】：（4）已知∠BOC＝m°，若OA是∠BOC外一条射线，，OD，OE分别平分∠AOC，∠AOB，当∠DOE＝m°﹣18°时，求出m的值（自己画出示意图求解）． 解：（1）∵OG，OF分别是∠AOB，∠BOC的角平分线， ∴∠BOG∠AOB，∠BOF∠BOC， ∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝120°，∠BOC＝30°， ∴∠BOG＝60°，∠BOF＝15°， ∴∠GOF＝∠BOG﹣∠BOF＝45°， 故答案为：45； （2）∠BOF∠BOC， ∠BOG∠AOB（90°+∠BOC）＝45°+∠BOF， ∠GOF＝∠BOG﹣∠BOF＝45°； （3）∠BOF∠BOC， ∠BOG∠AOB（m°+∠BOC）∠BOF， ∠GOF＝∠BOG﹣∠BOF， 故答案为：； （4）， ∠DOE＝∠AOE﹣∠AOD∠AOB∠AOCm°m°m°， ∵∠DOE＝m°﹣18°， ∴m°﹣18°m°， 解得：m°＝36°， ∠DOE＝∠AOD+∠AOE∠AOB∠AOCm°+180°m°＝180°m°， ∵∠DOE＝m°﹣18°， ∴m°﹣18°＝180°m°， 解得：m°＝132°， ∴m的值为36°或132°． 例4．点O在直线AF上，射线OB、OC、OD、OE在直线AF的上方，且∠AOB＝40°，∠AOC＝70°． （1）如图，OE在∠COF内部，且OD平分∠BOE． ①若∠COD＝20°，则∠EOF＝　 　°； ②若∠COD＝n°，则∠EOF＝　 　°．（用含n的式子表示） （2）当OE在∠BOC内部，且OD平分∠BOE时，请画出图形；此时，∠COD与∠EOF有怎样的数量关系？请说明理由． 解：（1）①∵∠AOB＝40°，∠AOC＝70