专题05 与圆有关问题的压轴题之四大题型-【满分备考攻略】2024年中考数学压轴题型专项集训（广东深圳专用）

专题05 与圆有关问题的压轴题之四大题型 目录 【题型一 与圆中线段相等及相似的有关问题】 1 【题型二 与圆中证明直线是切线的有关问题】 12 【题型三 与圆中求弧长、扇形面积的有关问题】 20 【题型四 与圆中实际应用的有关问题】 24 【典型例题】 【题型一 与圆中线段相等及相似的有关问题】 例题：（2023·广东深圳·三模）如图，为的直径，为上一点，与过点的切线互相垂直，垂足为点，交于点，连接，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式训练】 1．（2023·广东深圳·三模）如图，是的直径，切于点A，连接交于点D，点E是的中点，连接交于点F．    (1)求证：； (2)若，求的正切值． 2．（2023·广东深圳·一模）如图，已知是的直径，直线是的切线，切点为C，，垂足为E．连接．    (1)求证：平分； (2)若，，求的半径． 3．（2023·广东深圳·模拟预测）如图所示，为的直径，、、分别与相切于点、、．连接并延长与直线相交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的值； (3)在（2）条件下，若，求四边形的面积． 4．（2023·广东深圳·模拟预测）已知中，，，且，M为线段的中点，作，点P在线段上，点Q在线段上，以为直径的圆始终过点M，且交线段于点E．    (1)求线段的长度； (2)求的值； (3)当是等腰三角形时，求出线段的长． 【题型二 与圆中证明直线是切线的有关问题】 例题：（2023·广东深圳·模拟预测）如图，内接于，是的直径，E是长线上一点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长． 【变式训练】 1．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，是的直径，点C是上一点，和过点C的直线互相垂直，垂足为D，交于点E，且平分．    (1)求证：直线是的切线； (2)连接，若，，求的长． 2．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，是的直径，点D是上一点，且，与交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若平分，，求证是定值． 3．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，内接于，延长直径到D，使，过圆心O作的平行线交的延长线于点E．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求⊙O的半径及． 4．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，直线交于两点，是直径，平分交于，过作于.    (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径. 【题型三 与圆中求弧长、扇形面积的有关问题】 例题：（2023·广东深圳·二模）如图，点P是的直径延长线上一点，，点O旋转到点C，连接交于点D，∠AOD=60°． (1)求证：是的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 【变式训练】 1．（2022·广东深圳·模拟预测）如图，在中，与分别相切于点E，F，平分，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径是2，求图中阴影部分的面积． 【题型四 与圆中实际应用的有关问题】 例题：（2023·广东深圳·模拟预测）已知：、、三点不在同一直线上．    (1)若点、、均在半径为的上， （i）如图①，当，时，求的度数和的长； （ii）如图②，当为锐角时，求证：； (2)若定长线段的两个端点分别在的两边、（、均与不重合）滑动，如图③，当，时，分别作，，交点为，试探索在整个滑动过程中，、两点间的距离是否保持不变？请说明理由． 【变式训练】 1．（2023·广东深圳·一模）如图1，平行四边形中，，，，点M在延长线上且，为半圆O的直径且，，如图2，点E从点M处沿方向运动，带动半圆O向左平移，每秒个单位长度，当点F与点D重合时停止平移，如图3，停止平移后半圆O立即绕点E逆时针旋转，每秒转动，点F落在直线上时，停止运动，运动时间为t秒．    (1)如图1，　 　； (2)如图2，当半圆O与边相切于点P，求的长； (3)如图3，当半圆O过点C，与边交于点Q， ①求平移和旋转过程中扫过的面积； ②求的长； (4)直接写出半圆O与平行四边形的边相切时t的值．（参考数据：，） 2．（2023·广东深圳·一模）【问题发现】 船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图1，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，优弧上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．当船P位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角与“危险角”有怎样的大小关系？ 【解决问题】 （1）数学小组用已学知识判断与“危险角”的大小关系，步骤如下： 如图2，与相交于点D，连接，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可知， ∵是的外角， ∴　 　（填“＞”，“=”或“＜”）， ∴　 　（填“＞”，“=”或“＜”）； 【问题探究】 （2）如图3，已知线段与直线l，在直线l上取一点P，过A、B两点，作使其与直线l相切，切点为P，不妨在直线上另外任取一点Q，连接、，