第28讲 锐角三角函数（讲义）-备战2024年浙江中考数学一轮复习

备战2024年浙江中考数学一轮复习·讲义 第六单元 图形与变换 第28讲 锐角三角函数 ( 课标要求 ) 1.理解锐角三角函数的概念，知道30°、45°、60°角的三角函数值； 2.了解解直角三角形的概念，能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关的知识解决一些简单的实际问题； 3.进一步体会数形结合和函数思想的运用. ( 备考指南 ) 考点分布 考查频率 命题趋势 考点1 锐角三角函数 ☆☆☆ 锐角三角函数及其应用是数学中考中比较重要的考点,其考察内容主要包括①考查正弦、余弦、正切的定义，②特殊角的三角函数值，③解直角三角形与其应用等.出题时除了会单独出题以外，还常和四边形、圆、网格图形等结合考察，是近几年中考填空压轴题常考题型.预计2024年各地中考还将以选题和综合题的形式出现，在牢固掌握定义的同时，一定要理解基本的方法，利用辅助线构造直角三角形，是得分的关键. 考点2 解直角三角形 ☆☆ 考点3 解直角三角形的应用 ☆☆ ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1．锐角三角函数的意义： 如图，在Rt△ABC中，设∠C＝90°，∠α为Rt△ABC的一个锐角，则： ∠α的正弦sinα＝ ； ∠α的余弦cosα＝ ； ∠α的正切tanα＝ ； 2．同角三角函数之间的关系： sin2A＋cos2A＝ ，tanA＝． 3．互余两角三角函数之间的关系： (1)sinα＝cos ，cosα＝sin ． (2)tanα·tan ＝1. (3)锐角的正弦值或正切值随着角度的增大而 ，锐角的余弦值随着角度的增大而 ． (4)对于锐角A有0＜sinA＜1， ＜cosA＜ ，tanA＞0. 4．特殊的三角函数值： 三角函数 30° 45° 60° sinα cosα tanα 5．如图，直角三角形的三条边与三个角这六个元素中，有如下的关系： (1)三边的关系(勾股定理)：a2＋b2＝c2． (2)两锐角间的关系：∠A＋∠B＝90°． (3)边与角的关系：sinA＝cosB＝， cosA＝sinB＝，tanA＝，tanB＝． 6．直角三角形的边角关系在现实生活中有着广泛的应用，它经常涉及测量、工程、航海、航空等，其中包括了一些概念，一定要根据题意理解其中的含义才能正确解题． (1)仰角：向上看时，视线与水平线的夹角，如图． (2)俯角：向下看时，视线与水平线的夹角， (3)坡角：坡面与水平面的夹角． (4)坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，一般情况下，我们用h表示坡的铅直高度，用l表示坡的水平宽度，用i表示坡度，即i＝＝tanα，显然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡，如图． (5)方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角叫做方向角． ( 深度讲练 ) ■考点一　锐角三角函数► ◇典例1：（2023•淳安县一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c．则下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． ◆变式训练 1．（2022•萧山区校级一模）cos45°＝（　　） A． B． C． D． 2．（2022•滨江区二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AB＝8，sinA＝　　． 3．（2022•钱塘区一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°．若3AB＝5AC，则tanA＝　　． 4．（2023•杭州一模）在△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，则tanA＝（　　） A． B． C． D． ■考点二 解直角三角形► ◇典例2：（2023•南浔区一模）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，求BC的长和cosA的值． ◆变式训练 1．（2023•东阳市三模）如图，在△ABC中，∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，则点A到BC的距离为（　　） A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50° 2．（2022•西湖区校级一模）在△ABC中，AC＝4，BC＝6，∠C为锐角且tanC＝1． （1）求△ABC的面积； （2）求AB的值； （3）求cos∠ABC的值． ■考点三 解直角三角形的应用► ◇典例3：（2022•绍兴）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图