第06讲 平行四边形的判定及中位线-2023-2024学年八年级数学下册高频考点精讲与热点题型精练（浙教版）

第6讲 平行四边形的判定及中位线 知识点： 平行四边形的判定定理 判定1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 判定2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 判定3：对角线相互平分的四边形是平行四边形； 三角形的中位线 定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线； 中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半； 反证法 定义：在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确。这种证明方法叫做反证法。 用反证法证明命题三步骤： 否定命题：假设命题的结论不成立； 推出矛盾：从中的假设除法，经过推理论证推出矛盾； 肯定结论：由矛盾的结果判定中的假设不成立，从而肯定命题的结论正确。 考点一 平行四边形判定 【例1】如图，点E、F分别是▱ABCD边AD、BC的中点，G、H是对角线BD上的两点，且BG＝DH．则下列结论中不正确的是（　　） A．GF＝EH B．四边形EGFH是平行四边形 C．EG＝FH D．EH⊥BD 【例2】 如图，在四边形ABCD中（AB≠BC），AB∥CD，AB＝CD，直线EF经过四边形ABCD的对角线AC和BD的交点O，且分别交AD、BC于点M、N，交BA、DC的延长线于点E、F，下列结论：①BO＝OD；②△AOD的周长﹣△ODC的周长＝AD﹣CD；③AD∥BC；④S△ABO＝；⑤图中全等的三角形的对数是9对；其中正确结论的是 　 　．（填序号） 【例3】如图，四边形ABCD中，AB∥CD，F为AB上一点，DF与AC交于点E，DE＝FE． （1）求证：四边形AFCD是平行四边形； （2）若，BC＝6CE＝12，BC⊥AC，求BF的长． 【例4】如图所示，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E． （1）求证：BE＝CD； （2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形； （3）若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积． 【例5】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝5，E，F为直线BD上的两个动点（点E，F始终在平行四边形ABCD的外面），连接AE，CE，CF，AF．DE＝2OD，BF＝2OB． （1）求证：四边形AFCE为平行四边形； （2）若CA平分∠BCD，∠AEC＝60°，求四边形AFCE的周长． 【例6】在平面直角坐标系中，O（0，0），A（3，0），B（1，2），再找一点C，使这四点能连成平行四边形，则点C的坐标为 　 　． 【举一反三】 1．下列说法正确的是（　　） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．平行四边形的对角互补 C．有两组对角相等的四边形是平行四边形 D．平行四边形的对角线平分每一组对角 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E，以E为顶点，ED为一边，作∠DEF＝∠A，另一边EF交AC于点F． （1）求证：四边形ADEF为平行四边形； （2）延长图①中的DE到点G，使EG＝DE，连接AE，AG，FG，得到图②，若AD＝AG，判断四边形AEGF 的形状，并说明理由． 3．如图，AD是△ABC的中线，点E是AD中点，过A作AF∥BC交BE的延长线于F，连CF． （1）求证：四边形ADCF是平行四边形； （2）若AB⊥AC，请直接写出与线段AD相等的线段． 4．如图1，在△ABC中，D是BC边上一点，且CD＝BD，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，连接BF． （1）求证：四边形AFBD是平行四边形； （2）如图2，若AB＝AC＝13，BD＝5，求四边形AFBD的面积． 5．如图，在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x1，y1），给出如下定义：当点Q（x2，y2）满足x1•x2＝y1•y2时，称点Q是点P的等积点．已知点P（1，2）． （1）在Q1（2，3），Q2（﹣4，﹣2），Q3（5，3）中，点P的等积点是 　 　． （2）点Q是点P的等积点，点C在x轴正半轴上，以O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为 　 　． 考点二 中位线性质定理 【例1】如图，△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点D在EF上，延长AD交BC于N，BD⊥AN，AB＝6，BC＝8，则DF＝（　　） A．2 B． C．1 D． 【例2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最