恒成立问题讲义-2024届高三数学二轮专题复习

1. 单调性分析 一.基本原理：恒成立问题的一般形式为：若函数的定义域为，任意的，都有等价于即可，其他情形可类比得到. 于是，解决恒成立问题的第一种方法就是值域方法，实质就是找到函数在其定义区间上的最大值或最小值，在这个过程中我们需要借助导数来讨论原函数的单调性进而求得值域. 二．典例分析 例1.（2012全国卷）设函数. （1) 若,求的单调区间; （2）当时恒成立，求的取值范围. 解析：（1）时，，. 当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加 （2），由（1）知，当且仅当时等号成立.故 ，从而当，即时，，而，于是当时，.由可得.从而当时，，故当时， ，而，于是当时，. 综合得的取值范围为. 例2.（2020全国1卷）已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，，求的取值范围. 解析：方法1.（直接讨论） 因为等价于，构造函数 ，则，，且.所以在内单调递减，在内单调递增，此时. （ⅰ）若，即，则在内单调递增， 在内单调递增，，不等式恒成立； （ⅱ）若，即，则当，.所以在内单调递减，而，故当时，在内单调递减，不合题意. （ⅲ）若，则由， ，可知存在，此时在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增，且， 若，则恒成立，在内单调递增，，不等式恒成立；若，则存在，此时在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增，且，要使 恒成立，只需要，此时， ，消去，得，解法 ，由得，故，综上，的取值范围是 . 例3．已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若不等式恒成立，求a的取值范围． 解析：（1），，.，∴切点坐标为(1,1+e),∴函数在点(1,f(1)处的切线方程为,即,切线与坐标轴交点坐标分别为, ∴所求三角形面积为． （2）,，且.设,则∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增， 当时，,∴,∴成立.当时， ，，,∴存在唯一，使得，且当时，当时，，， 因此>1,∴∴恒成立；当时， ∴不是恒成立.综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞). 例4．已知函数. （1）求的极值； （2）当时，，求实数的取值范围. 解析：（1）求导得，所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，无极大值. （2）由题知不等式在上恒成立， 则原问题等价于不等式在上恒成立， 记，， 记，则恒成立， 所以在上单调递增，又， 所以存在，使得，即当时，，此时；当时，，此时，所以在上单调递减，在上单调递增， 由，得，， 所以， ①当时，因为，所以不等式恒成立，所以； ②当时，因为存在，使得，而，此时不满足，所以无解.综上所述，. 2.对数“单身狗”，指数“找朋友” 一．基本原理 由于很多函数中都包含指数或对数项，在处理时我们有一个技巧：“指数找基友，对数单身狗”，其原理如下： ，. 以为底的指数函数具有求导不变性和恒正性，所以给它找“基友”求到后可不再考虑指数函数对正负号的影响，而对数则不具有这样的性质，反而越求导越麻烦，所以让它单独出现，同时对数的定义域决定了当它单独求到后的正负号易于判断. 二．典例分析 例1.（2020全国1卷）已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，，求的取值范围. 等价于，令，则 . 若，此时在上增，且，不合题意. 若，故在上减，在增，故欲使得，故当时，满足题意. 若，则，故，满足题意.综上所述， . 例2.已知函数. （1）讨论的单调性; （2）若,求证：当时,. 解析：（1）依题意,的定义域为,当 时,在单调递减;当时,当时,,当时,,∴在单调递减,在单调递增; 当时,当时,,当时,,∴在单调递增,在单调递减; 综上,当时,在单调递减;当时,在单调递减,在,单调递增;当时,在单调递增,在单调递减; （2）当,要证明,即证明, ∵只需证明,即, 设,则 ,设,则 当时,;当时,；∴在单调递减,在单调递增;∴,当时,;当 时,在单调递减,在单调递增∴当 时,. 例3.已知函数. （1）设是的极值点,求,并求的单调区间; （2）证明:当时,. 解析:（2）当时,要证,只需设,则，由，得，令，当时，，当时，,所以是的最大值点，故当时,,所以当时,. 3.参数分离方法的四大“副产物” “副产物”1：二次求导 例1．已知函数，． （1）求的单调区间与最值； （2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 解析：（方法一：参数分离） 令，则，为了讨论导函数正负号，令，则，故 故在上递减，则需. 综上所述，. （方法2.带参讨论） （2）设 当，即时，，在上单调递增， ，，所以成立； 当，即时，，在上单调递减，，即，所以； 当时，，当，单调递增， 当，单调递减，所以 ，令， ，所以，成立．综上，a的取值范围为． “副产物”2：隐零点代换 例2.已知函数（，为自然对数的底