专题13 正方形存在性问题-2024年中考数学二次函数压轴题核心考点突破

专题13 正方形存在性问题 一、知识导航 作为特殊四边形中最特殊的一位，正方形拥有更多的性质，因此坐标系中的正方形存在性问题变化更加多样，从判定的角度来说，可以有如下： （1）有一个角为直角的菱形； （2）有一组邻边相等的矩形； （3）对角线互相垂直平分且相等的四边形． 依据题目给定的已知条件选择恰当的判定方法，即可确定所求的点坐标． 从未知量的角度来说，正方形可以有4个“未知量”，因其点坐标满足4个等量关系，考虑对角线性质，互相平分（2个）垂直（1个）且相等（1个）． 比如在平面中若已知两个定点，可以在平面中确定另外两个点使得它们构成正方形，而如果要求在某条线上确定点，则可能会出现不存在的情况，即我们所说的未知量小于方程个数，可能无解． 从动点角度来说，关于正方形存在性问题可分为： （1）2个定点+2个全动点； （2）1个定点+2个半动点+1个全动点; 甚至可以有：（3）4个半动点． 不管是哪一种类型，要明确的是一点，我们肯定不会列一个四元一次方程组求点坐标！ 常用处理方法： 思路1：从判定出发 若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等； 若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直； 若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件． 思路2：构造三垂直全等 若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4个顶点中任取3个，必是等腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等来求得第3个点，再求第4个点． 总结：构造三垂直全等的思路仅适合已知两定点的情形，若题目给了4个动点，则考虑从矩形的判定出发，观察该四边形是否已为某特殊四边形，考证还需满足的其他关系． 正方形的存在性问题在中考中出现得并不多，正方形多以小题压轴为主． 二、典例精析 例：在平面直角坐标系中，A（1,1），B（4,3），在平面中求C、D使得以A、B、C、D为顶点的四边形是正方形． 如图，一共6个这样的点C使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形． 至于具体求点坐标，以为例，构造△AMB≌△，即可求得坐标．至于像、这两个点的坐标，不难发现，是或的中点，是或的中点． 题无定法，具体问题还需具体分析，如上仅仅是大致思路． 三、中考真题演练 1．（2023·湖南·中考真题）我们约定：若关于x的二次函数与同时满足，则称函数与函数互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题： (1)若关于x的二次函数与互为“美美与共”函数，求k，m，n的值； (3)在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数与它的“美美与共”函数的图像顶点分别为点A，点B，函数的图像与x轴交于不同两点C，D，函数的图像与x轴交于不同两点E，F．当时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由． 2．（2023·辽宁·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．    (1)求抛物线的解析式； (3)点在直线上，点在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标． 3．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，抛物线的图象经过，，三点，且一次函数的图象经过点．    (1)求抛物线和一次函数的解析式． (2)点，为平面内两点，若以、、、为顶点的四边形是正方形，且点在点的左侧．这样的，两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：如果不存在，请说明理由． (3)将抛物线的图象向右平移个单位长度得到抛物线，此抛物线的图象与轴交于，两点（点在点左侧）．点是抛物线上的一个动点且在直线下方．已知点的横坐标为．过点作于点．求为何值时，有最大值，最大值是多少？ 4．（2023·湖南岳阳·中考真题）已知抛物线与轴交于两点，交轴于点．    (1)请求出抛物线的表达式． (2)如图1，在轴上有一点，点在抛物线上，点为坐标平面内一点，是否存在点使得四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2022·山东济宁·中考真题）已知抛物线与x轴有公共点． (1)当y随x的增大而增大时，求自变量x的取值范围； (2)将抛物线先向上平移4个单位长度，再向右平移n个单位长度得到抛物线（如图所示），抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．当OC＝OA时，求n的值； (3)D为抛物线的顶点，过点C作抛物线的对称轴l的垂线，垂足为G，交抛物线于点E，连接BE交l于点F．求证：四边形CDEF是正方形． 6．（2022·山东泰安·中考真题）若二次函数的图象经过点，，其对称轴为直线，与x轴的另一交点为C． (1)求二次函数的表达式； (2)若点M在直线上，且在第四象限，过点M作轴于点N． ①若点N在线段上，且，求点M的坐标； ②以为对角线作正方形（点P在右侧），当点P在抛物线上时，求点M的