专题23.1 数据分析（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（冀教版）

专题23.1 数据分析（全章知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】平均数和加权平均数 1、 算术平均数：一般地，我们把n个数的和与ｎ的比，叫做这ｎ个数的算术平均数，简称平均数，记作, 读作“x拔”，即 2、 加权平均数：已知n个数，若为一组正数，则把 叫做n个数的加权平均数，分别叫做这ｎ个数的权重,简称权。 【知识点二】中位数和众数 1、 中位数：一般地，将ｎ个数据按大小顺序排列，如果ｎ为奇数，那么把处于中间位置的数据叫做这组数据的中位数；如果ｎ为偶数，那么把处于中间位置的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数。 2、 众数：一般地，把一组数据中出现次数最多的那个数据叫做众数。一组数据的众数可能不止一个，也可能没有众数。 【知识点三】方差 方差：设n个数据的平均数为，各个数据与平均数偏差的平方分别是。偏差平方的平均数叫做这组数据的方差，用表示，即 当数据分布比较分散时，方差较大；当数据分布比较集中时，方差较小。因此，方差的大小反映了数据波动（或离散程度）的大小。 【知识点四】用样本估计总体 由于抽样的任意性，即使是相同的样本容量，不同样本的平均数一般也不同；当样本容量较小时，差异可能还较大。但是当样本容量增大时，样本的平均数的波动变小，逐渐趋于稳定，且与总体的平均数比较接近。因此，在实际中经常用样本的平均数估计总体的平均数。同样的道理，我们也用样本的方差估计总体的方差。 【考点一】平均数与加权平均数（解答题三个） 【例1】（2023·河北沧州·模拟预测）“幻方”最早源于我国，古人称之为纵横图．在如图所示的“幻方”中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等． 0 3 1 （1）求第一列三个数之和； （2）若“幻方”的中间数为，这9个数字的平均数为，分别求出和的值，并比较大小． 【答案】（1）； （2）， 【分析】（1）将第一列三个数相加即可求解； （2）根据（1）中求出的结果，将第二列中三个数字相加，列出方程求解x的值，再求出平均数即可． （1）解：； （2）解：由题意，得， ． ， ． 【点拨】本题主要考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，解题的关键是掌握有理数的混合运算，以及解一元一次方程方法和步骤． 【举一反三】 【变式1】（2023春·江苏南通·八年级统考期中）在体操比赛中，往往在所有裁判给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分，个裁判员对某一运动员的打分数据（动作完成分）为： ，，，，，． （1）请按照以上方法计算这组数据的平均数（结果精确到）； （2）请你解释用以上方法计算平均分的合理性． 【答案】（1）8.8分；（2）去掉一个最高分和最低分统计平均分可以减少极端值对结果的影响 【分析】（1）根据算术平均数的定义计算即可； （2）去掉一个最高分和一个最低分统计平均分的方法更合理，这样可以减少极端值对数据的影响． （1）解：（分）； （2）答：去掉一个最高分和最低分统计平均分可以减少极端值对结果的影响． 【点拨】本题考查的是样本平均数的求法．熟记公式是解决本题的关键． 【变式2】（2024秋·广东江门·七年级江门市福泉奥林匹克学校校考开学考试）某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次．在第6、第7、第8、第9次射击中，分别得了8.3、8.0、7.8、 9.1环，他的前5次射击的平均环数低于这四次射击的平均环数．如果他要使10次射击的平均环数超过8.4环，那么他在第10次射击中至少要得多少环？（每次射击所得的环数都精确到0.1环） 【答案】他在第10次射击中至少要得9.3环 【分析】先计算第6、第7、第8、第9次射击的平均数，假设前五次射击的平均环数和这四次射击的平均环数相等，据此可求得第10次射击的最少环数． 解：， 假设前五次射击的平均环数也是8.3， 则， 故他在第10次射击中至少要得9.3环， 答：他在第10次射击中至少要得9.3环． 【点拨】本题考查平均数的计算，掌握平均数的计算方法是解题的关键． 【例2】（2023秋·湖北·九年级校联考开学考试）某单位招聘员工，采取笔试与面试相结合的方式进行，两项成绩的原始分均为100分．有3名选手的得分如下：根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折合成综合成绩（综合成绩的满分仍为100分）． 序号 1 2 3 笔试成绩/分 85 92 88 面试成绩/分 90 88 90 现得知1号选手的综合成绩为88分． （1）求笔试成绩和面试成绩各占的百分比； （2）求出其余两名选手的综合成绩，并以综合成绩排序确定第一名人选． 【答案】（1）笔试成绩和面试成绩各占的百分比是和；（2）2号89.6分；3号89.2，第一名人选是2号 【分析】（1）设笔试成绩和面试成绩