6.3.2 二项式系数的性质-2023-2024学年高二数学教材配套教学精品课件（人教A版2019选择性必修第三册)

人教A版2019选修第三册 第 六 章 计数原理 6.3.2 二项式系数的性质 1.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题； 2.理解二项式系数的性质并会灵活运用． 教学目标 01情境导入 PART.01 情境导入 如图所示,在一块木板上钉一些正六棱柱形的小木块,在它们中间留下一些通道,从上面的漏斗直通到下部的长方形框,并用一块玻璃挡住.把小弹子倒在漏斗里,它首先会通过中间的一个通道落到第二层(有几个通道就算第几层)的六棱柱上面,之后,再落到第二层中间的一个六棱柱的左边或右边的两个竖直通道里边去.再之后,它又会落到下一层的三个通道之一里边去,……,以此类推,最终落到下边的长方形框中. 思考：如何求一下个小弹子通过n+1层通道落到各长方形框里有多少种可能？ 温故知新 </m> 1.二项式定理. Tk＋1=</m> 2.二项展开式的通项 3.二项式系数 二项式系数的性质 PART.02 概念讲解 探究1 ：用计算工具计算(a＋b)n的展开式的二项式系数，并填入下表中. (a＋b)1 (a＋b)2 (a＋b)3 (a＋b)4 (a＋b)5 (a＋b)6 n (a＋b)n的展开式的二项式系数 1 2 3 4 5 6 杨辉三角形 概念讲解 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 为了便于发现规律, 上表还可以写成如下所示的形式: 观察上图，你还能发现哪些规律? ①在同一行中 , 每行两端都是1 , 与这两个1等距离的项的系数相等 . 即： ②在相邻的两行中, 除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和 . 即： 概念讲解 对于确定的n，我们还可以画出它的图像． Cnr可看成是以r为自变量的函数f(r),其定义域是： 例如，当n=6 时，f(r)=Cnr (r∈{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6})的图象是右图中的7个离散点． f(r) r 6 3 O 6 15 20 1 10 对于(a+b)n展开式的二项式系数： 还可以从函数角度来分析它们. 概念讲解 1. 对称性 由此我们可得二项式系数有以下性质： 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． r f(r) O 1 2 3 5 10 15 20 4 5 6 事实上，这一性质可直接由公式 得到． 图象的对称轴为 概念讲解 2.增减性与最大值 概念讲解 探究2：已知 = 令x=1 得= 所以，的展开式的各二项式系数之和为2n 概念辨析 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）二项展开式中系数最大的项与二项式系数最大的项是相同的.( ) × （2）二项展开式的二项式系数和为 <m></m> .( ) × （3）在 <m></m> 的展开式中，当 <m></m> 为偶数时，二项展开式中中间一项的系数最大.( ) × （4）在 <m></m> 的展开式中，二项式系数具有对称性，所以 <m></m> .( ) × 例题剖析 例1.求证:在的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 证明:在展开式 =中， 令a=1,b=-1，得 即 因此 即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 反思感悟 归纳总结 二项展开式中系数和的求法 (1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可. (2)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1), 例题剖析 练习： 在(2x-3y)9的展开式中,求: (1)二项式系数之和; (2)各项系数之和; (3)所有偶数项系数之和. 例题剖析 (2)各项系数之和为a0+a1+a2+…+a9, 令x=1,y=1, 所以a0+a1+a2+…+a9=(2-3)9=-1. (3)令x=1,y=-1,可得 a0-a1+a2-…-a9=59, 又a0+a1+a2+…+a9=-1, 即所有偶数项系数之和为976 562. 二项式系数性质的应用 PART.04 例题剖析 例2.已知(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项. 解得5≤k≤6. ∴k=5或k=6(∵k∈{0,1