第六章6.3.2二项式系数的性质（配套课件）-【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第三册配套课件PPT（人教A版2019）

6.3 二项式定理 课时8　二项式系数的性质  学习目标 课程目标 学科核心素养 理解二项式系数与项的系数的概念 通过对两个系数概念的学习辨析,培养数学抽象素养 掌握二项式系数的性质 通过学习二项式系数的性质,培养逻辑推理与数学运算素养 能运用二项式系数的性质解决具体问题 通过对二项式系数的性质的应用,培养数学运算与逻辑推理素养 情境导学 杨辉,字谦光,汉族,钱塘(今浙江省杭州市)人,杰出的数学家.他在1261年所著《详解九章算法》一书中,辑录了如图1的三角形数表,该数表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”,我们来研究下“杨辉三角”里面数字排列的规则. 上节课我们学习了二项式定理: (a+b)n=an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn.,n∈N* 观察展开式每一项的二项式系数与“杨辉三角”的每一层的数之间的关系. 初探新知 【活动1】 探究二项式系数与系数的区别 问题1 上一课时我们学习了二项式定理,可以解决类似(a+b)n的展开式问题,那么你会写(1+2x)3的展开式吗? 问题3 你能写出此展开式每一项的系数吗? 问题2 此展开式每一项的二项式系数分别是什么? 问题4 二项式系数与系数相同吗? 初探新知 【活动2】 探究二项式系数的性质  问题5 你能写出n=1,2,3,4时,(a+b)n展开式各项的二项式系数吗? 问题6 观察这些二项式系数,与情景导学中的“杨辉三角”中各行的数字有什么关系? 问题7 那你能直接写出当n=5时,各项的二项式系数吗? 初探新知 问题8 观察“杨辉三角”中每一行数有什么特点? 问题9 你能求出二项展开式各二项式系数的和吗? 知识梳理 1. 二项展开式中每一项的组合数(k=0,1,2,…,n),称为二项式系数,每一项的数字因数叫做这一项的系数. 2. 对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即=. 3. 增减性与最大值:二项式系数先增后减,中间项的二项式系数最大.当n为偶数时,中间一项,即第+1项的二项式系数最大,最大值为;当n为奇数时,中间两项,即第项和项的二项式系数相等且最大,最大值为或. 4. 各二项式系数的和为+++…+=. 典例精析 【思路点拨】区分二项式系数和系数的概念,求特定项利用通项公式求解. 【例1】[2022·上海市实验学校高二期中改编题]在的展开式中,前3项的系数成等差数列.求: (1) 正整数n的值; (2) 展开式中二项式系数最大的项; (3) 展开式中x-2的系数. 典例精析 【解】 (1) 因为前3项的系数成等差数列,且前三项系数为,,,所以=+, 即n2-9n+8=0,所以n=1(舍去)或n=8.　 (2) 因为n=8,所以展开式中二项式系数最大的项为第五项,即T5==x.　 (3) 展开式的通项为Tr+1==,0≤r≤8,r∈N.令=-2,所 以r=8,可得展开式中x-2的系数为×=,. 典例精析 【方法规律】 二项式系数与系数的注意点: (1) 二项式系数都是组合数(r=0,1,2,…,n),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等,要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念. (2) 第r+1项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为.例如,在的展开式中,第四项是T4 =14(2x)3,其二项式系数是=35,而第四项的系数是 23=280. 典例精析 【变式训练1】 (1) 求二项式的展开式中第6项的二项式系数和该项的系数; (2) 求的展开式中x3的系数. 【解】 (1) 由已知得二项展开式的通项为Tr+1=·=,所以T6=-12.所以第6项的二项式系数为=6,第6项的系数为-12.　 (2) 二项展开式的通项为Tr+1==,令9-2r=3,所以r=3,即展开式中第4项含x3,其系数为(-1)3×=-84. 典例精析 【思路点拨】“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,形如(ax+b)n, (ax2+bx+c)n(a,b,c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法. 【例2】设(1-2x)2022=a0+a1x+a2x2+…+a2022x2022,x∈R.求: (1) a0+a1+a2+…+a2022的值; (2) a1+a3+a5+…+a2021的值; (3) +++…+的值. 典例精析 【解】 (1) 令x=1,得a0+a1+a2+…+a2022=(-1)2022=1　①.　 (2) 令x=-1,得a0-a1+a2-…-a2021+a2022=32022　②. ①-②,得2(a1+a3+a5+…+a2021)=1-32022,所以a1+a3+a5+…+a2021=.　 (3) 因为Tr+1==,所以a2k-1<0且a2k>0(k∈N*).所以|a0