2024年高考数学知识精讲+针对性训练：数列

2024年高考数学知识精讲+针对性训练：数列 知识精讲 等差数列 1.等差数列的有关公式 (1)定义：（为常数） (2)等差中项：成等差数列 (3)通项公式： (4)前n项和公式： 2.等差数列的性质：是等差数列 (1)若，则 (2)数列仍为等差数列，仍为等差数列，公差为; (3)若是等差数列，且前项和分别为，则 (4)项数为奇数的等差数列，有 ，，. 3.等差数列与函数的关系 (1),当时，它是关于n的一次函数； (2)为等差数列（为常数，它是关于的常数项为0的二次函数） 的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项， 即：当，解不等式组可得达到最大值时的值. 当，由可得达到最小值时的值. 等比数列 1.等比数列的有关公式 (1)定义：（为常数，） (2)等比中项：成等比数列，或. (3)通项公式： (4)前n项和公式： 2.等比数列的性质：是等比数列 (1)若，则 (2)仍为等比数列,公比为. 3.等差数列与函数的关系 (1)指数型函数；(2) 求通项公式 1.累加法 由，求， 时，两边相加得 ∴ 2.累乘法：适用于类型的递推关系式. 3.同除法： 4. 取倒数：①；②；③． 5.构造法：①②． 数列求和 (1)公式法：对于等差等比数列，利用公式法直接求和； (2)错位相减法：对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和； (3)分组求和法：对于型数列，利用分组求和法； (4)裂项相消法：对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和. 针对性训练 一、选择题 1．在等差数列中，，是方程的两个根，则的前项的和为（　　） A． B． C． D． 2．已知各项均为正数的等比数列中，，则等于（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 3．已知等差数列的公差为，集合，若，则（　　） A．－1 B． C．0 D． 4．记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：为等差数列，则（　　） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 5．斐波那契数列满足，其每一项称为“斐波那契数”.如图，在以斐波那契数为边长的正方形拼成的长方形中，利用下列各图中的面积关系，推出是斐波那契数列的第（　　）项. A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 6．某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列为，它的第项为，若序列的所有项都是2，且，，则（　　） A． B． C．. D． 7．已知数列满足，则（　　） A． B． C． D． 8．已知数列 满足： ，则（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题 9．已知1，，，…，，2为等差数列，记，，则（　　） A．为常数 B．为常数 C．随着n的增大而增大 D．随着n的增大而增大 10．已知数列为为等差数列，，，前项和为.数列满足，则下列结论正确的是（　　） A．数列的通项公式为 B．数列是递减数列 C．数列是等差数列 D．数列中任意三项不能构成等比数列 11．所有的有理数都可以写成两个整数的比，例如如何表示成两个整数的比值呢？代表了等比数列的无限项求和，可通过计算该数列的前项的和，再令获得答案.此时，当时，，即可得.则下列说法正确的是（　　） A． B．为无限循环小数 C．为有限小数 D．数列的无限项求和是有限小数 三、填空题 12．写出一个具有下列性质①②的数列的通项公式　 　．①；②数列的前n项和存在最小值． 13．某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛.设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为数列，且满足递推公式：为数列的前项和，则　 　（答案精确到1）. 14．记正项数列的前项和为，且满足.若不等式恒成立，则实数的取值范围是　 　. 四、解答题 15． 设数列的前项和为，已知． （1）证明：为等比数列，求出的通项公式； （2）若，求的前项和． 16．已知数列的前项和为，且是首项为1，公差为2的等差数列. （1）求的通项公式； （2）若数列的前项和为，且不等式对一切恒成立，求实数的取值范围. 17．已知数列为递增的等比数列，，记、分别为数列、的前项和，，. （1）求数列的通项公式； （2）证明：当时，. 18．已知公差为的等差数列的前项和为，且满足. （1）证明：； （2）若，求. 19．已知数列为等差数列，公差，等比数列满足：，. （1）求数列的通项公式； （2）若将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新数列：，，在与之间插入项中的项，新数列中之前(不包括)所有项的和记为，若