2024年高考数学知识精讲+针对性训练：平面向量及其应用

2024年高考数学知识精讲+针对性训练：平面向量及其应用 知识精讲 1. 向量的有关概念：零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量 2. 向量的线性运算：平行四边形法则、三角形法则 3. 平面向量的坐标运算 运算 坐标表示 和(差) ＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，－＝(x1－x2，y1－y2) 数乘 已知＝(x1，y1)，则λ＝(λx1，λy1)，其中λ是实数 任一向量的坐标 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1) 4. 向量的夹角 定义 图示 范围 共线与垂直 已知两个非零向量和，作，＝，则∠AOB就是与的夹角 设是与的夹角，则的取值范围是0°≤≤180° ⇔∥； ＝90°⇔⊥ 4. 平面向量的数量积： 投影： 叫做向量在方向上的投影，叫做向量在方向上的投影. 5. 与向量的模、夹角相关的三个重要公式 ①模：设，则. ②距离：若A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），则 ③夹角公式： 7.平行： 垂直： 针对性训练 一、选择题 1．已知向量，，且，则 A． B． C．6 D．8 2．已知向量与直线平行且，，则向量在向量方向上的投影向量可以是（　　） A． B． C． D． 3．已知向量，，若与反向共线，则的值为（　　） A．0 B．48 C． D． 4．已知向量，，则向量与的夹角为（　　） A． B． C． D． 5．已知，，则的最小值为（　　） A． B． C． D．1 6．已知向量，，，，与的夹角为，若，则（　　） A． B． C． D． 7．已知向量满足，则（　　） A． B． C．0 D．1 8．在中，，则（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题 9．已知中角，的对边分别为，，则可作为“”的充要条件的是（　　） A． B． C． D． 10．在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，下列结论正确的是（　　） A． B． C．的余弦值为 D． 11．已知平面于点O，A，B是平面上的两个动点，且，则（　　） A．SA与SB所成的角可能为 B．SA与OB所成的角可能为 C．SO与平面SAB所成的角可能为 D．平面SOB与平面SAB的夹角可能为 三、填空题 12．已知单位向量的夹角为，若，则　 　. 13． 已知向量，满足　 　 14．已知平行四边形中，，，，则　 　；若，，则的最大值为　 　． 四、解答题 15．设向量 ， ， ． （1）若 ，求x的值； （2）设函数 ，求f（x）的最大值． 16．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为的中点，若． （1）求； （2）若，求的最小值． 17．在 中，角 的对边分别为 ， ， ，且 ． （1）求角 的大小； （2）若 边上的中线 ，求三角形 面积的最大值． 18．在中，角A，B，C所对应的边为a，b，c．已知的面积，其外接圆半径，且． （1）求； （2）若A为钝角，P为外接圆上的一点，求的取值范围． 19．在中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c是公差为1的等差数列. （1）若，求的面积； （2）是否存在正整数a，使为钝角三角形?若存在，求a的值；若不存在，说明理由. 答案解析部分 1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】C 6．【答案】C 7．【答案】B 8．【答案】B 9．【答案】A,B 10．【答案】A,B,D 11．【答案】A,C 12．【答案】2 13．【答案】 14．【答案】； 15．【答案】（1）解：由题意可得 = +sin2x=4sin2x， =cos2x+sin2x=1， 由 ，可得 4sin2x=1，即sin2x= ． ∵x∈[0， ]，∴sinx= ，即x= （2）解：∵函数 =（ sinx，sinx）•（cosx，sinx）= sinxcosx+sin2x= sin2x+ =sin（2x﹣ ）+ ． x∈[0， ]，∴2x﹣ ∈[﹣ ， ]， ∴当2x﹣ = ，sin（2x﹣ ）+ 取得最大值为1+ = 16．【答案】（1）解：由， 利用正弦定理可得：， ， ∵， ∴， ∴； （2）解：由D为的中点， ∴， ∴， ， 又∵，∴， ∴， ∴， 当且仅当时，取最小值． 17．【答案】（1）由题意， 中，满足 ， 根据正弦定理，可得 ， 因为 ，可得 ，所以 ， 又由 ，解得 ， ， 又因为 ，所以 ． （2）因为若 边上的中线 ，可得 ，即 ， 即 所以