2024年高考数学知识精讲+针对性训练：空间向量与立体几何

2024年高考数学知识精讲+针对性训练：空间向量与立体几何 知识精讲 1.共线向量基本定理 对任意两个空间向量 a ，b(b≠0) ，a∥b 的充要条件是存在实数 λ ，使 a＝λb. 推论：若存在实数 t ，使＝ ＋t＝(1 －t)＋t(O 为空间任意一点) ，则 P，A， B 三点共线． 2.共面向量基本定理 如果两个向量 a ，b 不共线，那么向量p 与向量 a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序 实数对(x，y) ，使p＝xa＋yb. 推论：已知空间任意一点 O 和不共线的三点A，B，C，则满足向量关系式＝x＋y＋z(其中 x＋y＋z＝1)的点 P 与点A ，B ，C 共面． 3.空间向量的坐标运算： 向量和 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 向量差 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0) 垂直 a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 夹角公式 cos〈a，b〉＝ 4.空间向量在立体几何中的应用 设直线 l ，m 的方向向量分别为 a ，b ，平面 α，β 的法向量分别为 u ，v ，则 线线平行 l∥m⇒a∥b⇔a＝kb ，k∈R 线面平行 l∥α⇒a⊥u⇔a·u＝0 面面平行 α∥β⇒u∥v⇔u＝kv ，k∈R 线线垂直 l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0 线面垂直 l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku ，k∈R 面面垂直 α⊥β⇔ 线线夹角 l ，m 的夹角为 θ ，cos θ＝ 线面夹角 l ，α 夹角为 θ ， 面面夹角 α，β 的夹角为 θ ， 针对性训练 一、选择题 1．已知在正四棱锥 中（底面为正方形，顶点在底面上的射影为底面中心的四棱锥）， ， ，侧棱与底面所成角为 ，侧面与底面所成角为 ，侧面等腰三角形的底角为 ，相邻两侧面的二面角为 ，则下列说法正确的有（　　） A． B． C． D． 2．已知长方体 中， ， ， ，空间中存在一动点 满足 ，记 ， ， ，则（ ）. A．存在点 ，使得 B．存在点 ，使得 C．对任意的点 ，有 D．对任意的点 ，有 3．在棱长为1的正方体 中， 分别在棱 上，且满足 ， ， ， 是平面 ，平面 与平面 的一个公共点，设 ，则 （　　） A． B． C． D． 4．棱长均为3三棱锥，若空间一点满足则的最小值为(　　) A． B． C． D． 5．在正方体中，动点P在线段上，点E是的中点，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D在线段BC上，且 ，E为线段AD上一点，若 与 的面积相等，则 的值为（　　） A． B． C． D． 8．已知正方体的棱长为2，、分别为上底面和侧面的中心，则点到平面的距离为（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题 9．如图，已知正方体的棱长为，、分别为棱、的中点，则下列结论正确的为（　　） A． B． C． D．为平面的一个法向量 10．在正四棱柱中，分别是的中点，是棱上一点，则下列结论正确的有（　　） A．若为的中点，则 B．若为的中点，则到的距离为 C．若，则平面 D．的周长的最小值为 三、填空题 11．在空间直角坐标系中，已知点，若四点共面，则　 　． 12．已知，，为空间两两垂直的单位向量，且，，则　 　. 13．如图，在圆锥中，是底面圆O的直径，D，E分别为，的中点，，，则直线与直线所成角的余弦值为　 　． 四、解答题 14．已知是空间的一个基底，且，，，． （1）求证：，，，四点共面； （2） 能否作为空间的一个基底？若能，试用这一基底表示；若不能，请说明理由． 15．在空间直角坐标系中，已知点，，，设，． （1）若与互相垂直，求的值； （2）求点到直线的距离． 16．如图，正三棱柱的所有棱长均为为的中点，为上一点， （1）若，证明：平面； （2）当直线与平面所成角的正弦值为，求的长度. 17．如图，已知边长为6的菱形与相交于，将菱形沿对角线折起，使． （1）求平面与平面的夹角的余弦值； （2）在三棱锥中，设点是上的一个动点，试确定点的位置，使得． 18．如图，多面体中，四边形为正方形，平面平面，，，，，与交于点． （1）若是中点，求证：； （2）