2024年中考数学复习专题：二次函数

2024年中考数学复习专题：二次函数 考点总结 考点一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地，如果，那么y叫做x 的二次函数。 叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法 五点法： （1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线与坐标轴的交点： 当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 考点二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式： （2）顶点式： （3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。 考点三、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。 如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要结合函数图像去解决问题。 考点四、二次函数的性质 1、二次函数的性质 函数 二次函数 图像 a>0 a<0 性质 （1）抛物线开口向上，并向上无限延伸； （2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）； （3）在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而增大，简记左减右增； （4）抛物线有最低点，当x=时，y有最小值， （1）抛物线开口向下，并向下无限延伸； （2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）； （3）在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而减小，简记左增右减； （4）抛物线有最高点，当x=时，y有最大值， 2、二次函数中，的含义： 表示开口方向：>0时，抛物线开口向上 <0时，抛物线开口向下 与对称轴有关：对称轴为x= 表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，） 3、二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。 因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。 当>0时，图像与x轴有两个交点；当=0时，图像与x轴有一个交点； 当<0时，图像与x轴没有交点。 跟踪训练 一、单选题 1．将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（       ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，若，点．，，在该抛物线上．若，比较，，，的大小，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知抛物线与直线的交点横坐标分别记为，，下列描述不正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 4．如图，二次函数的图象与x轴交于和原点．下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，菱形的边长是4厘米，，动点P以1厘米/秒的速度自A点出发沿方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线运动至D点停止．若点P，Q同时出发运动了t秒，记的面积为S厘米，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 6．已知在平面直角坐标系中，点为，点为，将抛物线：，绕原点旋转得到抛物线，若抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是( ) A． B． C． 或 D．或 7．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，D是以点为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段的中点，连接，则线段最小值是（    ）    A．2 B． C． D．3 8．如图，已知直线为常数）与抛物线，为常数）相交于点，，与坐标轴相交于点，，且，，，四点的横坐标分别为，0，2，3，则不等式的解为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．当时，函数的最大值是 ． 10．已知二次函数，且，，则一定有 ． 11．把抛物线化成的形式是 ，该图象的对称轴是 ，顶点坐标是 ． 12．如图，这是某市文化生态园中抛物线型拱桥及其示意图，已知抛物