精品解析：上海市金山中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷

2023-2024学年上海市金山中学高二年级下学期 3月月考数学试卷 2024.3 一、填空题 （本大题共有12小题，满分54分） 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 已知集合，集合，则______. 2 已知，则_____. 3. 函数的导函数______. 4. 已知直线和，若，则_______. 5. 已知为无穷等比数列，，，则的公比为_________． 6. 已知向量、满足，，与的夹角为，若，则________. 7. 已知事件A与事件B互斥，如果，，那么_____________． 8. 在中，其内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为__________． 9. 若连续抛两次骰子得到的点数分别是，，则点在直线上的概率是______. 10. 已知分别是双曲线左､右焦点，过点且垂直轴的直线与交于两点，且，若圆与的一条渐近线交于两点，则__________. 11. 已知圆，点在抛物线上运动，过点引圆的切线，切点分别为，，则的取值范围为______. 12. 棱长为10cm的密闭正四面体容器内装有体积为的水，翻转容器，使得水面至少与2条棱平行，且水面是三角形，不考虑容器厚度及其它因素影响，则水面面积的最小值为______. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 已知复数满足，复数的共轭复数为，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 14. 设是两条不同的直线，是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出的是（ ） A. ，且 B. ，且 C ，且 D. ，且 15. 已知函数与它的导函数的定义域均为，现有下述两个命题： ①“为严格增函数”是“为严格增函数”的必要非充分条件. ②“为奇函数”是“为偶函数”充分非必要条件； 则说法正确的选项是（ ） A. 命题①和②均为真命题 B. 命题①为真命题，命题②为假命题 C. 命题①为假命题，命题②为真命题 D. 命题①和②均为假命题 16. 设数列的前项和为，若对任意的正整数，总存在正整数，使得，下列正确的命题是（ ） ①可能为等差数列； ②可能为等比数列； ③均能写成的两项之差； ④对任意，总存在，使得． A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 三、解答题 （本大题满分78分） 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 如图，在四棱锥中，已知底面，底面是正方形，. （1）求证：直线平面； （2）求直线与平面所成的角的大小. 18. 已知公差为正数的等差数列满足成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若分别是等比数列的第1项和第2项，求使数列的前项和的最大正整数． 19. 图①是高桥中学的校门，它由上部屋顶，和下部两根立柱组成，如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面和是全等的等腰梯形，左右两坡屋面和是全等的三角形.点在平面和上的射影分别为H、M，已知，，梯形的面积是面积的4倍，设. （1）求屋顶面积S关于的函数关系式； （2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为（为正的常数），下部两根立柱的总造价与其单根的高度成正比，比例系数为，假设校门的总高度为3m，试问，当为何值时，校门的总造价（上部屋顶和下部两根立柱）最低? 20. 已知椭圆的左､右焦点分别为，直线与椭圆C交于M､N两点，（点M在点N的上方），与y轴交于点E. （1）当时，点A为椭圆C上除顶点外任一点，求的周长； （2）当且直线l过点时，设，求证：为定值，并求出该值； （3）若椭圆C离心率为，当k为何值时，恒为定值，并求此时三角形面积的最大值. 21. 已知，其中. （1）若曲线在点处切线与直线垂直，求的值； （2）设，函数在时取到最小值，求关于的表达式，并求的最大值； （3）当时，设，数列满足，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年上海市金山中学高二年级下学期 3月月考数学试卷 2024.3 一、填空题 （本大题共有12小题，满分54分） 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 已知集合，集合，则______. 【答案】 【解析】 【分析】解分式不等式化简集合，再利用集合的交集运算即可得解. 【详解】因为， 又，所以. 故答案为：. 2. 已知，则_____. 【答案】 【解析