面面平行与垂直 练习题-2024届高三数学二轮专题复习

面面平行垂直讲义 1．如图，在四棱锥中，，，平面，，.设M，N分别为，的中点. (1)求证：平面平面；(2)求三棱锥的体积. 2．在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，平面平面，且． (1)证明：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值． 3．在四棱锥中，平面为等腰直角三角形，底面为平行四边形，且是线段的中点，F在线段上运动，记． (1)若，求证：平面平面； (2)若，求三棱锥的体积． 4．如图，在多面体中，四边形是正方形，，，M是的中点． (1)求证：平面平面； (2)若平面，，，点P为线段上一点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 5．如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，点为线段的中点． (1)求证：平面平面； (2)若，二面角的正切值为2，且，求的值． 6．如图，圆柱的轴截面是边长为的正方形，下底面圆周的一条弦交于点，其中，．(1)证明：平面平面． (2)在上底面圆周上是否存在点，使得二面角的正弦值为若存在，求的长若不存在，请说明理由． 7．如图，为圆锥的顶点，为圆锥底面的圆心，为底面直径，四边形是梯形，且，为底面圆周上一点，点在上． (1)若，求证：平面； (2)当时，求二面角的正弦值． 8．如图，四边形ABCD是圆台EF的轴截面，M是上底面圆周上异于C，D的一点，圆台的高，．(1)证明：是直角三角形； (2)是否存在点M使得平面ADM与平面DME的夹角的余弦值为，若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由． 9．如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面为直角三角形，C是底面圆周上异于A，B的任一点，D是线段的中点，.(1)证明：平面平面； (2)在母线上是否存在一点E，使二面角的余弦值为，若存在，请说明点E的位置；若不存在，请说明理由. 面面平行垂直参考答案： 1.（1）证明：∵M，N分别为，的中点，∴，又平面，平面，∴平面.在中，，，∴. 又，∴.∵平面，平面，∴平面.又，∴平面平面.（2）∵，，，∴，∴三棱锥的体积. 2．（1）四边形是正方形，，又平面平面平面，又平面平面平面，平面平面， 平面平面．（2）依题意知两两垂直，故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，， 设平面的一个法向量为，则则可取，易知为平面的一个法向量，平面与平面夹角的余弦值为． 3．（1）由，得为线段的中点，而是线段的中点，则，而平面，则平面，又平面，所以平面平面．（2）由平面，得到平面的距离，在中，，于是，又四边形为平行四边形，E为的中点，因此，所以三棱锥的体积. 4．（1）因为，，所以四边形为平行四边形，故, 又平面，平面,所以平面；连接交于N，连接，因为四边形是正方形，故N为中点，M是的中点，在中，有，平面，平面, 所以平面，且平面，平面,,所以平面平面. （2）如图，建立空间直角坐标系，设，，则，又M是的中点，故,，因为，所以，解得，设，因点P为线段上一点，则，即， 故，所以，又，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，即，设直线与平面所成角为，则     当时， 设，，所以，当时，所以，当时，，所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 5．（1）连接，在菱形中，，是等边三角形．为的中点，，，，．又，平面，平面，又，平面，又平面，平面平面． （2）由（1）知，平面，则，又平面，平面．以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设， 则，设平面的法向量为， 则，即，可取，易得平面的一个法向量为，二面角的正切值为2，二面角为锐二面角，其余弦值为，，解得或（舍），即． 6．（1）证明：由题意可知：在下底面圆中，为直径，因为，所以为弦的中点，且， 因为，，、平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，（2）设平面交圆柱上底面于，交于点， 以D为坐标原点，分别以下底面垂直于的直线、、为、、轴建立空间直角坐标系如图所示：因为，底面圆半径为所以．则，，，设．则，，，，设平面的一个法向量为，由，得，即， 令则，设平面的一个法向量为，则，得， 令，则又二面角的正弦值为，所以， 化简得：，解得：或（舍），所以，又因为平面，平面，平面平面，所以，，且为的中点，所以，.所以存在点，使得二面角的正弦值为，的长为. 7．（1）取线段的中点，连接．因为，所以且， 因此四边形是平行四边形，所以， 又平面平面，所以平面， 连接，因为，所以，又平面平面，所以平面， 而平面，所以平面平面， 又平面，所以平面； （2）由圆锥的对称性不妨取点为如图所示位置， 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，于是，设平面的法向量为，则，得，取，可得， 设平面的法向量为，则，得，取，可得，所以，故二面角的正弦值为． 8． 由已知底面圆E，底面圆E，所以．因为，所以，又，则，所以是直角三角形．（2）假设存在点M满足题意，如图取