2025届高三数学一轮复习基础夯实练81：离散型随机变量及其分布列、数字特征

基础夯实练81 离散型随机变量及其分布列、数字特征 1.(2024·江苏镇江模拟)随机变量Y的分布列如下表,且E(Y)=3,则D(3Y-5)=(　　) Y 0 2 a P m A.10 B.15 C.40 D.45 2.设0<a<1,随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P b 则当a在(0,1)内增大时(　　) A.D(X)增大 B.D(X)减小 C.D(X)先减小后增大 D.D(X)先增大后减小 3.(多选题)已知投资A,B两种项目获得的收益分别为X,Y,分布列如下表,则(　　) X -1 0 2 P 0.2 m 0.6 Y 0 1 2 P 0.3 0.4 n A.m+n=0.5 B.E(2X+1)=4 C.投资两种项目的收益期望一样多 D.投资A项目的风险比B项目高 4.一个不透明的盒子中有质地、大小相同的5个球,其中红球3个,黄球2个,每次不放回地随机从盒子中取1个球,当盒子中只剩一种颜色时,停止取球. (1)求盒子中恰好剩2个红球的概率; (2)停止取球时,记盒子中所剩球的个数为X,求X的分布列与均值. 5.(2024·广东揭阳模拟)某大学为调研学生在A,B两家餐厅用餐的满意度,从在A,B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了200人,每人分别对这两家餐厅进行评分,满分为60分.整理评分数据,将分数分成6组:[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),得到A餐厅分数的频率分布直方图和B餐厅分数的频数分布表: 　　A餐厅分数的频 率分布直方图 　 B餐厅分数的 频数分布表 分数区间 频数 [0,10) 4 [10,20) 6 [20,30) 10 [30,40) 30 [40,50) 80 [50,60) 70 定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下: 分数 [0,30) [30,50) [50,60) 满意度指数 3 4 5 (1)在随机抽取的200人中,求对A餐厅评价的“满意度指数”为4的人数; (2)从该校在A,B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查,试估计其对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”低的概率; (3)如果根据学生对餐厅评价的“满意度指数”从A,B两家餐厅中选择一家用餐,从期望的角度你会选择哪一家?并说明理由. 6.(2024·山西太原模拟)对某地区过去20年的年降水量(单位:毫米)进行统计,得到以下数据: 887　939　643　996　715　838　1 082　923　901 1 182　1 035　863　772　943　1 035　1 022　855 1 118　768　809 将年降水量处于799毫米及以下、800至999毫米、1 000毫米及以上分别指定为降水量偏少、适中、偏多三个等级. (1)将年降水量处于各等级的频率作为概率,分别计算该地区年降水量偏少、适中、偏多的概率; (2)根据经验,种植甲、乙、丙三种农作物在年降水量偏少、适中、偏多的情况下可产出的年利润(单位:千元/亩)如下表所示.你认为这三种作物中,哪一种最适合在该地区推广种植?请说明理由. 年降水量 偏少 适中 偏多 甲 8 12 8 乙 12 10 7 丙 7 10 12 7.(2024·湖南雅礼中学模拟)2024年中非经贸合作座谈会议在长沙举行,拟在某单位招募5名志愿者,该单位甲、乙、丙三个部门可分别向单位推选3名志愿者以供选拔,每个部门有3个小组,每个小组可向本部门推选2名志愿者供部门选拔,假设每名志愿者入选的机会相等. (1)求甲部门志愿者入选人数为1人的概率; (2)求所招募的5名志愿者来自三个部门的概率; (3)求某小组志愿者入选人数X的分布列及期望. 参考答案 1.D　解析 由题意得+m+=1,得m=,所以E(Y)=0+2a=3,解得a=6,所以D(Y)=(0-3)2+(2-3)2+(6-3)2=5,所以D(3Y-5)=32D(Y)=9×5=45. 2.A　解析 根据随机变量分布列的性质可知+b=1,所以b=a,所以E(X)=0+1+2b=(1+2a),所以D(X)=[0-(1+2a)]2+[1-(1+2a)]2+[2-(1+2a)]2=-a2+a+=-(a-1)2+,又0<a<1,所以当a在(0,1)内增大时,D(X)增大. 3.ACD　解析 依题意可得0.2+m+0.6=1,所以m=0.2,0.3+0.4+n=1,所以n=0.3,所以m+n=0.5,故A正确; 所以E(X)=-1×0.2+0×0.2+2×0.6=1,则E(2X+1)=2E(X)+1=3,故B错误; E(Y)=0