2024年中考九年级数学专题复习：二次函数中的等腰三角形存在性问题

2024年九年级数学中考复习： 二次函数中的等腰三角形存在性问题 1．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（1，0），C（0，5）两点，与x轴的另一交点为B． (1)求抛物线解析式； (2)若点M为直线BC下方抛物线上一动点，MN⊥x轴交BC于点N； ①当线段MN的长度最大时，求此时点M的坐标及线段MN的长度； ②如图2，连接BM，当△BMN是等腰三角形时，求此时点M的坐标． 2．在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝ax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3）． (1)求抛物线L1的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标； (2)如图，连接BD，若点E在线段BD上运动（不与B，D重合），过点E作EF⊥x轴于点F，设EF＝m，问：当m为何值时，△BFE与△DEC的面积之和最小； (3)若将抛物线L1绕点B旋转180°得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．问：在抛物线L2的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，二次函数的图像与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且的面积为6． (1)求A，B两点的坐标； (2)求该二次函数的表达式； (3)如果点p在坐标轴上，且是等腰三角形，直接写出p点坐标． 4．已知抛物线与轴分别相交于点和点，与轴相交于点，连接，有一动点在线段上运动，过点作轴的平行线，交抛物线于点，，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)当为何值时，是等腰三角形． 5．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴交抛物线于点Q，交x轴于点M．其中点，点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接BC，在第一象限的抛物线上有一点P，且点P位于对称轴右侧，过P作PD⊥BC于点D，PE⊥MQ于点E，求的最大值及此时点P的坐标． (3)将抛物线向右平移2个单位长度后得到新抛物线，新抛物线与原抛物线相交于点N，在新抛物线的对称轴上有一点H，点F为与x正半轴的交点，若是以NH为腰的等腰三角形，请直接写出点H的坐标，并写出求解其中一个H点的过程． 6．如图，已知抛物线经过点和点，P是直线AB下方抛物线上的一个动点， PC∥y轴与AB交于点C，PD⊥AB于点D，连接PA． (1)求抛物线的表达式； (2)当△PCD的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PCD周长的最大值； (3)当△PAC是等腰三角形时，请直接给出点P的坐标． 7．如图1，二次函数（a、b为参数，其中的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D． (1)若，求tan∠CBA的值（结果用含a的式子表示）； (2)若△ABC是等腰三角形，直线AD与y轴交于点P，且．求抛物线的解析式； (3)如图2，已知，E、F分别是CA和CB上的动点，且，若以EF为直径的圆经过点C，并交x轴于M、N两点，求MN的最大值． 8．已知抛物线经过点和，与x轴交于另一点B，顶点为D． (1)求抛物线的解析式，并写出D点的坐标； (2)如图，点E，F分别在线段AB，BD上（E点不与A，B重合），且，设，，求n与m的函数关系式，并求出n的最大值； (3)在（2）问的条件下，能否为等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由． 9．二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，且A（﹣1，0）、B（4，0）． (1)求此二次函数的表达式； (2)①如图1，抛物线的对称轴m与x轴交于点E，CD⊥m，垂足为D，点F（﹣，0），动点N在线段DE上运动，连接CF、CN、FN，若以点C、D、N为顶点的三角形与△FEN相似，求点N的坐标； ②如图2，点M在抛物线上，且点M的横坐标是1，将射线MA绕点M逆时针旋转45°，交抛物线于点P，求点P的坐标； (3)已知Q在y轴上，T为二次函数对称轴上一点，且△QOT为等腰三角形，若符合条件的Q恰好有2个，直接写出T的坐标． 10．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求点A的坐标； (2)如图2，连接AC，点D为线段AC下方抛物线上一动点，过点D作轴交线段AC于E点，连接EO、AD，记的面积为，的面积为，求的最大值及此时点D的坐标； (3)如图3，连接CB，并将抛物线沿射线CB方向平移个单位长度得到新抛物线，动点N在原抛物线的对称轴上，点M为新抛物线与y轴的交点，当为以AM为腰的等腰三角形时，请直接写出点N的坐标． 11．如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，，连接BC，AC，设AC关系式为，． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是直线AC下方抛物线上