2024年中考九年级数学专题训练：特殊三角形问题（二次函数综合）

2024年中考九年级数学专题训练： 特殊三角形问题（二次函数综合） 1．如图，已知二次函数经过点、，与轴交于另一点，抛物线的顶点为． (1)求出二次函数解析式； (2)连接，求证：是直角三角形； (3)在对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标和的周长；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点， (1)求抛物线的函数表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使得是以为底的等腰三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)连接，把抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线是新抛物线上一点，是新抛物线对称轴上一点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，求出点的坐标． 3．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，直线与轴交于点．动点在抛物线上运动，过点作轴，垂足为点，交直线于点． (1)求抛物线的表达式； (2)当点在线段上时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由； (3)点在运动过程中，能否使以为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标． 4．如图，抛物线L：与x轴交于A、两点（A在B的左侧），与y轴交于点，已知对称轴.    (1)求抛物线L的解析式； (2)将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在内（包括的边界），求h的取值范围； (3)设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线l：上，能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，请说明理由． 5．如图，已经抛物线经过点，，且它的对称轴为． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点是轴上的一点，且为等腰三角形，请直接写出点坐标． 6．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点P是直线下方抛物线上一动点．      (1)求这条抛物线的解析式： (2)如图（甲），在x轴上是否存在点E，使得以为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图（乙），动点P运动到什么位置时，面积最大，求出此时P点的坐标和面积的最大值． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线过点A和点C，与x轴交于点B． (1)求这个二次函数的表达式； (2)抛物线对称轴与直线交于点D，若P是直线上方抛物线上的一个动点（点P不与点A，C重合），求面积的最大值； (3)点M是抛物线对称轴上的一动点，x轴上方的抛物线上是否存在点N，使得是以为直角边的等腰直角三角形；若存在，请直接写出点N坐标；若不存在，请说明理由． 8．抛物线过，，三点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图①，抛物线上一点在线段的上方，交于点，，求点的坐标； (3)如图②，为抛物线顶点，过作直线，点在轴上运动，是否存在这样的点、，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． 9．已知抛物线与轴交于点，它的顶点为点，点，关于原点的对称点分别力，若，，，中任何三点都不在一条直线上，则称四边形为抛物线的伴随四边形，直线为抛物线的伴随直线． (1)如图所示，求抛物线的伴随直线的解析式； (2)如图所示，若抛物线的伴随直线是，伴随四边形的面积为求此抛物线的解析式； (3)如图所示，若抛物线的伴随直线是，且伴随四边形是矩形． ①用含的代数式表示，的值． ②在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标用含的代数式表示；若不存在，请说明理由． 10．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点的坐标为． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1．若点在抛物线上且满足，求点的坐标； (3)如图2．是直线上一个动点，过点作轴交抛物线于点，是直线上一个动点，当为等腰直角三角形时，直接写出此时点的坐标． 11．在平面直角坐标系中，抛物线经过和．    (1)求这条抛物线的表达式； (2)已知点在第一象限，且在直线上，过作轴的垂线，垂足为点，在的左侧，以为斜边作等腰直角三角形， ①当点与点重合时，如图所示，求点到这条抛物线对称轴的距离； ②如果点在这条抛物线上，求点的坐标． 12．如图①，抛物线与x轴相交于O、A两点，直线与y轴交于B点，与该抛物线交于A，D两点，已知点D横坐标为． (1)求这条抛物线的解析式； (2)如图①，在线段上有一动点H（不与O、A重合），过H作x轴的垂线分别交于P点，交抛物线于Q点，若x轴把分成两部分的面积之比为，求H点的坐标； (3)如图②，在抛物线上是否存在点C，使为直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图，将抛物线向右平移个单位长度，顶点为，与轴交于点，且为等腰直角