2024年中考九年级数学专题复习：二次函数中的平行四边形存在性问题

2024年中考九年级数学专题复习： 二次函数中的平行四边形存在性问题 1．如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求出抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上的一动点，在y轴上存在点Q，使得以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标． 2．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，坐标分别为点，，与y 轴交于点C，作直线BC ，动点P在x 轴上运动，过点P 作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N ，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P 在线段OB 上运动时，求线段MN 的最大值； (3)当以C，O，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出m的值． 3．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图像经过A(-2，0)，B(8，0)和以AB为直径的半圆M与y轴的交点C，一次函数y=x+m经过点B且与抛物线交于点D． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线BD的上方抛物线上找一点P，使△BDP的面积最大，请求出此时点P的坐标和△BDP的面积； (3)在(2)的条件下，在平面内找一点Q，使以点B、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点Q的坐标． 4．如图，直线y=−x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=ax2−5x+c经过A、B、C三点，D为y轴上一动点，过点D作y轴的垂线与直线AB交于点E，与抛物线交于点F、G两点（F在G的左侧）． (1)求抛物线的解析式及点C的坐标； (2)在点D运动的过程中，若O、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，试求点D的坐标； (3)如图2，当点D运动到点B上时（即B与D重合），有一点M在线段AB的上方且∠AMB=135°，连接MG，请直接写出线段MG的最小值． 5．如图，一次函数y＝kx＋2的图象分别交y轴，x轴于A，B两点，B的坐标为（4，0），抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点． (1)求k的值及抛物线的解析式． (2)直线x＝t在第一象限交直线AB于点M，交抛物线于点N，当t取何值时，线段MN的长有最大值？最大值是多少？ (3)在（2）的情况下，以A，M，N，D为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点D的坐标，并直接写出所有平行四边形的面积是多少． 6．如图，抛物线与轴交于点，抛物线经过点，点是轴上一动点． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，已知抛物线(a≠0)与x轴交于点A(－1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C(0，2)，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m，0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在线段OB上运动时，直线l交直线BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形； (3)点P在线段AB上运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 8．如图，抛物线与坐标轴相交于A、B、C三点，P是线段AB上一动点（端点除外），过P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP． (1)试求A、B、C三点的坐标及直线BC的解析式； (2)求△PCD面积的最大值，并判断当△PCD的面积取最大值时，以PA、PD为邻边的平行四边形是否为菱形，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为，与轴交于点与轴交于点、，且点，，过点作平行于轴，交抛物线于点，点为抛物线上的点，且在的上方，作平行于轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)当点在何位置时，四边形的面积最大？并求出最大面积； (3)在抛物线上是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，如果存在，请写出点，的坐标，如果不存在，请说明理由． 10．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在直线上方的抛物线上时，求的最大面积，并直接写出此时点坐标； (3)若点在抛物线的对称轴上，以，，，为顶点、为边的四边形能否是平行四边形？若能，请直接写出点的坐标；若不能，请说明理由． 11．如图，直线AB与抛物线y＝x2+bx+c交于点A（﹣4，0），B（2，6），与y轴交于点C，且OA＝OC，点D为线段AB上的一点，连结OD，OB． (1)求抛物线的解析式； (2)若OD将△AOB的面积分成1：2的两部分，求点D的坐标； (3)在坐标平面内是否存在点P，使以点A，O，B，P为顶点四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图1：二次函数交轴于、两点，交轴于点．已知，． (1)求二次