2024年九年级数学中考复习：二次函数与特殊三角形问题综合专项突破训练

2024年九年级数学中考复习： 二次函数与特殊三角形问题综合专项突破训练 1．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，直线与轴交于点．动点在抛物线上运动，过点作轴，垂足为点，交直线于点． (1)求抛物线的表达式； (2)当点在线段上时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由； (3)点在运动过程中，能否使以为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点，为抛物线上的一动点（不与点重合）．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)当是直角三角形时，求点的坐标； (3)过点作，直线交抛物线于点，试探究直线是否经过某一定点，若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 3．如图，抛物线经过A、B、C三点，点、，点B在y轴上．点P是直线下方的抛物线上一动点（不与A、B重合）． (1)求此抛物线的解析式； (2)过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线于点E，动点P在什么位置时，最大，求出此时P点的坐标； (3)点Q是抛物线对称轴上一动点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形，请直接写出点Q坐标． 4．如图，已知抛物线与x轴交A、B两点（点A在点B左侧），其中，与y轴正半轴交于C点，连接，．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，若P点为抛物线上位于第一象限的点，连接、交于点E，当的值为最大时，求P点的坐标及的最大值； (3)如图3，在（2）中将沿直线平移得，点A、O、C的对应点分别为、、，连接、，当为直角三角形时，请直接写出点的坐标，并写出求其中一个点坐标的过程． 5．如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C．其中，D是第一象限抛物线上一点，连接交于点E，点D的横坐标为m． (1)求抛物线的函数关系式； (2)求线段长度的最大值； (3)是否存在m的值，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的m的值；若不存在，请说明理由． 6．如图，已知抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为．    (1)若直线经过，两点，求抛物线和直线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标； (3)设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标． 7．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，过点作直线轴，过点作，交直线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点为第三象限内抛物线上的点，连接和交于点，当时．求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图所示，在等腰△ABC中，，以底边的垂直平分线和所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线经过A，B两点．    (1)写出点A，B的坐标． (2)若一条与y轴重合的直线以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段，和抛物线于点E，点M和点P，连接，．设直线移动的时间为t（）秒，求四边形的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形的最大面积． (3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使得是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，已知抛物线交轴于、两点，交轴于，且．    (1)求点A、、C的坐标及二次函数解析式； (2)假设在直线上方的抛物线上有动点，作轴交轴于点，交于点，作于点若点的横坐标为，求线段的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点使得为以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，为抛物线的顶点．    (1)求此二次函数的解析式； (2)求的面积； (3)在其对称轴右侧的抛物线上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图（1）所示，在平面直角坐标系中，平行于轴的直线与抛物线相交于，两点．设点的横坐标为．      (1)求的长（用含的代数式表示）； (2)如图（2）所示，点在直线上，点的横坐标为．若，，求顶点在轴上且经过，两点的抛物线的顶点坐标； (3)点在直线上，，过，，三点的抛物线的顶点为，其对应函数的二次项系数为． ①求的值； ②当，为等腰直角三角形时，直接写出的值． 12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，抛物线经过点、，是线段的中点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上的动点，当时，求点的横坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使得是以点为直角顶点的直角三角形，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． (4)抛物线上（下方）是否存在点，使得？若存在，