2024年中考数学高频考点专题复习-相似三角形问题（二次函数综合）

2024年中考数学高频考点专题复习-相似三角形问题（二次函数综合） 1．如图，经过（1，0）和（2，3）两点的抛物线y＝ax2+c交x轴于A、B两点，P是抛物线上一动点，平行于x轴的直线l经过点（0，﹣2）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，y轴上有点C（0，），连接PC，设点P到直线l的距离为d，PC＝t．童威在探究d﹣t的值的过程中，是这样思考的：当P是抛物线的顶点时，计算d﹣t的值；当P不是抛物线的顶点时，猜想d﹣t是一个定值．请你直接写出这个定值，并证明； （3）如图2，点P在第二象限，分别连接PA、PB，并延长交直线l于M、N两点．若M、N两点的横坐标分别为m、n，试探究m、n之间的数量关系． 2．如图，抛物线：的图像与轴交于和两点，与轴交于，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点，与对称轴交于点． (1)求抛物线的解析式和点坐标； (2)在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出点的坐标：若不存在，试说明理由． 3．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B的右侧），且与y轴交于点C，已知点A（3，0），O为坐标原点， (1)当B的坐标为（﹣5，0）时，求抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，以A为圆心，OA长为半径画⊙A，以C为圆心，AB长为半径画⊙C，通过计算说明⊙A和⊙C的位置关系； (3)如果△BAC与△AOC相似，求抛物线顶点P的坐标 4．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点连接．点沿以每秒个单位长度的速度由点向点运动，到达点后再以同样的速度沿轴正半轴运动，同时，点沿以每秒个单位长度的速度由点向点运动，当点停止运动时，点也随之停止运动，连接．过点作轴，与抛物线交于点连接．设点的运动时间为秒，已知点、点的坐标分别为． （1）求抛物线的解析式． （2）①直接写出点的坐标（用含的代数式表示，结果需化简）； ②当点在线段上运动，且满足时，求的值． （3）试探究：在点运动的过程中，是否存在某一时刻，使得的中点落在坐标轴上？若存在，请直接写出此时的值与点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，经过和两点的抛物线交轴于两点，是抛物线上一动点，平行于轴的直线经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，轴上有点连接，设点到直线的距离为．．小明在探究的值的过程中，是这样思考的：当是抛物线的顶点时，计算的值；当不是抛物线的顶点时，猜想是一个定值．请你直接写出的值，并证明小明的猜想． (3)如图2，点在第二象限，分别连接、，并延长交直线于两点．若两点的横坐标分别为，试探究之间的数量关系． 6．已知抛物线过点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线在第一象限上的点，点是抛物线对称轴上的点，当，时，求点的坐标； (3)点，为抛物线上异于点的两点，且，连接，过点作，垂足为求证：平面上存在一点，使得的长度为定值． 7．在Rr△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，点O为AB的中点，点D、E分别为AC、AB边上的动点，且保持DO⊥EO，连接CO、DE交于点P． （1）求证：OD＝OE； （2）在运动的过程中，DP•EP是否存在最大值？若存在，请求出DP•EP的最大值；若不存在，请说明理由． （3）若CD＝2CE，求DP的长度． 8．已知抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到抛物线． (1)直接写出抛物线的解析式　　； (2)如图1，已知抛物线与轴交于，两点，点在点的左侧，点，在抛物线上，交抛物线于点．求点的坐标； (3)已知点，在抛物线上，轴，点在点的左侧，过点的直线与抛物线只有一个公共点与轴不平行），直线与抛物线交于另一点．若线段，设点，的横坐标分别为，，直接写出和的数量关系（用含的式子表示为　　． 9．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在原点右侧），与y轴交于点C．抛物线的对称轴交x轴于点E，交抛物线于点F，连接BC．    (1)求A、B、C三点坐标； (2)如图，点P是线段上一动点，过点P作轴，交抛物线于点D，问当动点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时P点的坐标； (3)坐标轴上是否存在点G，使以A，C，G为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出所有满足条件的点G的坐标：若不存在，请说明理由． 10．如图1，一条抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点C，且当x=－1和x=3时，的值相等．直线与抛物线有两个交点，其中一个交点的横坐标是6，另一个交点是这条抛物线的顶点M． (1)求这条抛物线的表达式． (2)动点P从原点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发，在线段BC上以每秒2个单位长度的速度向点C运动，当一个点到达终点