精品解析：贵州省贵阳市北京师范大学贵阳附属中学2023-2024学年高二下学期3月第一届“圆周率”杯竞赛数学试题

北京师范大学贵阳附属中学 第一届“π”杯数学竞赛（高二年级） 一、填空题（本题共8小题，每题8分，共64分） 1 设集合，，则______. 2. 设，为单位向量，且，则______. 3. 设球在圆柱内，且圆柱底面直径和高都等于该球的直径，则球与圆柱的体积之比是______. 4. 在中，，BC边上高等于,则______________． 5. 过原点且与相切直线方程是__________. 6. 已知，则的最大值为_______． 7. 已知数列为正项等比数列，且，则的最小值为______. 8. 设a，b为正整数，且是函数的一个零点，则______. 二、解答题（第9题16分，第10题20分，共36分） 9. 已知数列的首项，且，． （）证明数列是等比数列并求数列的通项公式． （）证明：． 10. 已知双曲线的中心为原点，左、右焦点分别为、，离心率为，点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足. （1）求实数值； （2）证明：直线与直线的斜率之积是定值； （3）若点的纵坐标为，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，在线段上去异于点、的点，满足，证明点恒在一条定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京师范大学贵阳附属中学 第一届“π”杯数学竞赛（高二年级） 一、填空题（本题共8小题，每题8分，共64分） 1. 设集合，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】解指对数不等式化简集合，再利用集合的交集运算即可得解. 【详解】因为， ， 所以. 故答案为：. 2. 设，为单位向量，且，则______. 【答案】0 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律计算即得. 【详解】单位向量，，由，得， 即，所以. 故答案为：0 3. 设球在圆柱内，且圆柱的底面直径和高都等于该球的直径，则球与圆柱的体积之比是______. 【答案】 【解析】 【分析】设球的半径为，则由题意可表示出圆柱的底面半径和高，从而利用球与圆柱的的体积公式即可得解. 【详解】设球半径为，则由题意可得圆柱的底面半径为和高为， 所以球与圆柱的体积之比为. 故答案为：. 4. 在中，，BC边上的高等于,则______________． 【答案】. 【解析】 【分析】设边上的高为，则，求出，．再利用余弦定理求出. 【详解】设边上的高为，则， 所以，． 由余弦定理，知． 故答案为 【点睛】本题主要考查余弦定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 5. 过原点且与相切的直线方程是__________. 【答案】 【解析】 【分析】设切点为，利用导数的几何意义列方程组求出，即可取出切线方程. 【详解】设切点为，且， 由题意可得：，解得： 过原点且与相切的直线方程是. 故答案： 6. 已知，则的最大值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】首先根据题意得到，设，，得到的轨迹方程为：，且点在上，从而得到，再解不等式即可. 【详解】 变形得， 设，， 因为点的轨迹方程为：，且点在上， 所以， 整理得：，即， 解得. 所以的最大值为. 故答案为： 7. 已知数列为正项等比数列，且，则最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，利用等比数列的性质得到关于的表达式，再利用基本不等式即可得解. 【详解】因为数列为正项等比数列，， 设，则，则， 由于是等比数列，所以也成等比数列， 因此 ， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 8. 设a，b为正整数，且是函数的一个零点，则______. 【答案】5 【解析】 【分析】由利用正余弦的二倍角公式计算可得，再由得，根据求出，代入即可. 【详解】因为， 所以 ， 可得，， 即，解得， 由， 可得，即， ， 因为，所以，解得， . 故答案为：5. 二、解答题（第9题16分，第10题20分，共36分） 9. 已知数列的首项，且，． （）证明数列是等比数列并求数列通项公式． （）证明：． 【答案】（1），证明见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由，得，，得，由此能证明数列是首项为2，公比为2的等比数列，从而能求出数列的通项公式； （2）由，利用放缩法和等比数列前n项和公式能证明. 【详解】（）∵， ∴， 又，，， ∴数列是首项为，公比为的等比数列． ∴，∴数列的通项公式． （）证明：∵， ∴， ， ∴． 10. 已知双曲线的中心为原点，左、右焦点分别为、，离心率为，点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足. （1）求实数值； （2）证明：直线与直线的斜率之积是定值； （3）若点的纵坐标为，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，在线段上去异于点、的点，满足，证明点恒在一条定直线上. 【答案】（1）；（2）详见解析；（3）详见解析