精品解析：上海外国语大学附属浦东外国语学校2023-2024学年高三下学期3月月考数学试卷

上外浦外高三月考数学试卷 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 已知集合，，则集合的子集个数为______. 2. 条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分条件，则a的取值范围是__________. 3. 若复数满足，则_________． 4. 已知向量是一个基底，实数x，y满足，则________. 5. 的展开式中，x的系数为_________.（用数字作答） 6. 在中，，，，则______. 7. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面朝上”，事件B是“第二枚为正面朝上”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的有______（用数字①②③作答） ①事件A与事件B；②事件A与事件C；③事件C与事件B. 8. 若数列的前n项和为，若，则正整数n的值为______． 9. 若正四面体的顶点都在一个表面积为的球面上，过点且与平行的平面分别与棱交于点，则空间四边形的四条边长之和的最小值为__________. 10. 佛山被誉为“南国陶都”，拥有上千年的制陶史，佛山瓷砖享誉海内外.某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标，且，现从该生产线上随机抽取10片瓷砖，记表示的瓷砖片数，则__________. 11. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是______． 12. 在中，，．若空间点满足，则直线与平面所成角的正切的最大值为__________. 二、选择题（本大题共4题，满分20分） 13. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，则圆柱的表面积与球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 14. 用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时不等式左边（ ） A. 增加了 B. 增加了 C. 增加了，但减少了 D. 增加了，但减少了 15. 数列中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行1项，排；第二行2项，从左到右分别排、；第三行3项，，依此类推，设数列的前n项和为，则满足的最小正整数n的值为（ ） A. 20 B. 21 C. 25 D. 27 16. 设锐角三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则周长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17. 袋中有大小形状相同5个球，其中3个红色，2个黄色. （1）两人依次不放回各摸一个球，求第一个人摸出红球，且第二个人摸出1个黄球的概率； （2）甲从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时即停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，求： ①的值；②随机变量的概率分布和数学期望. 18. 已知数列的前项和为，点列、、、、在过点的直线上，且（是坐标原点）． （1）求数列的通项公式； （2）记，若对任意正整数，恒成立，求实数的取值范围． 19. 如图，已知四棱锥的底面的菱形，，点是边的中点，和交于点O，PO平面； （1）求证：； （2） 求二面角的大小． （3）在（2）条件下，求异面直线与所成角的余弦值． 20. 已知椭圆E过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率，∠F1AF2的平分线所在直线为l． （1）求椭圆E的方程； （2）设l与x轴交点为Q，求点Q的坐标及直线l的方程； （3）在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由． 21 已知函数. （1）证明：函数在上有且只有一个零点； （2）当时，求函数的最小值； （3）设，若对任意的恒成立，且不等式两端等号均能取到，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上外浦外高三月考数学试卷 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 已知集合，，则集合的子集个数为______. 【答案】2 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再利用集合的交集运算求得，从而列举出其子集即可得解. 【详解】因为， 又，所以， 所以集合的子集为，共2个. 故答案为：2. 2. 条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分条件，则a的取值范围是__________. 【答案】{a|a≤1} 【解析】 【分析】根据p是q的充分条件，由pq求解. 【详解】p：x>1， 因为p是q的充分条件， 则p⇒q，即pq, 所以a≤1. 故答案为：{a|a≤1} 3. 若复数满足，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法运算即可得解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 4. 已知向量是一个基底，实数x，y满足，则________. 【答案】3 【解析】 【分析】利用平面的基底不共线得到关于的方程组，解之即可得解.