自招竞赛之同余问题2023-2024学年九年级数学+全国版

第01讲 同余 教学目标 1、 掌握除法的概念 2、同余的概念和性质的运用 知识概述 【除法概念】 如果自然数除以正整数，商是，余数为，则，其中与都是整数，而且。 【同余概念】 如果两个自然数与被正整数除时，所得余数相同，即，，那么就称与关于模同余，用式子表示为：。读作：同余于模。 【同余性质】 性质1. 若，则； 性质2. 。（反身性） 性质3. 若，那么。（对称性） 性质4. 若，，那么。（传递性） 性质5. 若，，那么。（可加减性） 性质6. 若，，那么。（可乘性） 性质7. 若，那么。（其中为正整数） 性质8. 若，那么。（其中为自然数） 性质9. 若，，那么。 典型例题 【例1】一个两位数除，余数是，求这样的两位数。 解：设这样的两位数为 由题意可得：，则，即 而，所求的两位数约数还要满足比大，符合条件的有。 【例2】用自然数去除得到的三个余数之和为，那么=________ 解：设三个余数为，由题意可得： ，， ∴，即 ∴，即，而 ∵，∴为中大于8的约数 显然，不能大于．符合条件的只有. 【例3】除以的余数是多少？ 解：，，， ，……，所以是的倍数，而，所以可以分成段和个组成，那么它除以的余数为. 【例4】托玛想了一个正整数，并且求出了它分别除以和的余数．现知这三余数的和是．试求该数除以的余数． 解：除以、和的余数分别不超过，，，所以这三个余数的和永远不超过， 既然它们的和等于，所以这三个余数分别就是，，．所以该数加后能被整除，而 ，设该数为，则，即（为非零自然数），所以它除以的余数只能为． 【例5】求所有的质数，使得与也是质数． 解：为质数，如果，则，都是质数，所以符合题意．如果 不等于，那么除以的余数为，除以的余数即等于除以的余数，即、除以的余数，只有和两种情况．如果除以的余数为，那么除以的余数为，即此时能被整除，而大于，所以此时不是质数；如果除以的余数为，同理可知不是质数，所以不等于，与至少有一个不是质数，所以只有满足条件． 随堂检测 1、有一个大于的正整数，除所得的余数相同，求这个数. 解：设这个数为，由题意可得： 则， 即， 又∵ 的约数有 ∴这个数可能为。 2、号码分别为、、、的个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘? 解：本题可以体现出加法余数定理的巧用。计算、、、除以的余数分别为, 那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用两两相加除以即可。显然运动员打盘是最多的。 3、一个大于的数去除时，得余数分别为，则这个自然数是多少？ 解：设这个自然数是 由题意可得：，， ∴ ，， ∴ ∴ ， 即， 又∵，的约数有 ∴ 这个自然数是． 4、已知被某自然数除所得的余数分别是求该自然数的值. 解：设这个自然数为 由题意可知：自然数，，被该数除所得余数分别是 ， ，且 又，的约数有 这个自然数是. 5、黑板上有个, 个, 个, 个. 现做以下操作: 每次擦掉个不同的数字,并且把没擦掉的第四种数字多写个. 例如: 某次操作，擦掉个, 个, 个, 那就再写上个. 经过若干次操作后, 黑板上只剩下个数字, 而且无法继续进行操作, 那么最后剩下的三个数字的乘积是多少？ 解：无论如何操作，任意两种数的个数的差只有不变，加和减三种情况！（比如说和的个数，无论怎样操作，对于这两个数的个数只有类情况，要么同时减少个；要么的个数加个，的个数少个；要么的个数少个，的个数加个）.那么继续，看的个数和的个数，用的个数减去的个数，他们的差是，除以的余数是，那就是说当数字的个数比的个数多时，他们的差一定是除以余的；但如果数字的个数比多的话，那么这个差除以的余数一定是，（可以试着操作几次，让的个数多与的个数）。这样算下来比较麻烦，观察一些特殊的，不用分类讨论的，可以发现的个数和的个数，它们的差是，正好是的倍数，也就是说，操作到最后，剩下的的个数和的个数要么一样多，要么个数差。再根据题意，最后只剩下个数，如果的个数为，那么的个数必然为，不合题意。如果的个数为，而和不可能都为个，所以操作到最后时的个数和的个数都只能为，而的个数一定是，那么的个数就是，所以剩下的三个数是个和个，他们乘积是. 自主巩固 1. 若为自然数，求证． 解：，由于与的奇偶性相同，∴ ∵ 当时，显然，∵，∴ 当不能整除时，，，∴ ∴，∴，∵，∴ 综上。 2. 试求不大于，且使能被整除的所有正整数的和。 解：当=···时 的余数为···余数为个一循环 的余数为···余数为个一循环 的余数为4 的余数为···余数为个一循环 其中，每个周期中的第个，第个，第6个余数为 即可保