专题05 整式及其加减 期中复习讲义 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

专题05整式及其加减期中复习讲义 ✵复习目标 理解用字母表示数的意义，能结合实际情境列出代数式，掌握代数式书写规范，会求代数式的值。 准确辨析单项式、多项式、整式，能正确说出单项式的系数、次数，多项式的项、常数项、次数。 理解同类项的概念，熟练运用合并同类项法则、去括号法则进行整式加减运算。 掌握化简求值的方法，理解整体代入思想；会用整式表示数字、图形规律，解决简单实际问题。 ✵高频题型梳理 题型1.用字母表示数、列代数式 题型2.代数式的概念、书写规范与代数式的实际意义 题型3.单项式的识别，单项式的系数、次数 题型4.多项式的识别，多项式的项、项数、次数 题型5.整式、同类项的基础识别判断 题型6.已知字母的值求代数式的值 题型7.整体代入求代数式的值 题型8.利用同类项求字母的值 题型9.合并同类项、去括号与添括号 题型10.整式的加减运算 题型11.整式加减化简求值 题型12.整式加减无关型问题 题型13.整式加减的实际应用 题型14.程序流程图与代数式求值 题型15.带有字母的绝对值化简问题 题型16.数字、图形类规律探索 ✵核心知识梳理 知识点一、代数式 用运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式。单独一个数或一个字母也是代数式。 代数式书写规范：数字与字母相乘，数字写在前，省略乘号；除法运算写成分数形式；带分数要化为假分数。 代数式的值：用数值代替代数式中的字母，按照代数式规定的运算计算得到的结果，叫做代数式的值。 知识点二、单项式 由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独一个数或一个字母也是单项式。 单项式中的数字因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母的指数之和叫做单项式的次数。 说明：系数包含前面的符号；π是常数，不是字母。 知识点三、多项式 几个单项式的和叫做多项式。多项式中的每一个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 多项式中，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。 知识点四、整式 单项式和多项式统称为整式。分母中含有字母的代数式不是整式。 知识点五、同类项 1.所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。所有常数项都是同类项。同类项与系数大小、字母排列顺序无关。 2.合并同类项 同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。合并同类项的依据是乘法分配律。 知识点六、去括号 去括号法则: 括号前是正号，去掉括号和它前面的正号，括号内各项符号不变；括号前是负号，去掉括号和它前面的负号，括号内各项都改变符号。括号前有数字因数时，数字因数要乘括号内每一项，不能漏乘。 知识点七、整式的加减 整式加减运算步骤：先去括号，再合并同类项。运算结果一般按某一个字母的降幂（或升幂）排列，结果中不再含有同类项。 知识点八、探索规律 观察序号与对应数量的关系，用代数式表示一般规律，代入数值检验。 ✵易错提醒 1.单项式的系数包含符号；次数只计算字母的指数和，\(\boldsymbol{\pi}\)是常数，不计入单项式次数。 2.判断同类项，只看所含字母、相同字母的指数，不受系数、字母排列顺序干扰。 3.去括号是高频易错点：括号前为负号，括号内每一项都变号；括号前有乘数，必须乘遍括号内所有项。 4.合并同类项只合并系数，字母与字母的指数保持不变，不是同类项不能合并。 5.代入负数、分数进行乘方求值时，必须给负数、分数添加括号。 6.整式判定：分母含有字母的式子不属于整式。 ✵典例精讲 题型1.用字母表示数、列代数式 1．在“苏超”场外市集上，小军购买了个“麋鹿王”、 个“盐小勺”、 个“盐小饼”，它们的单价分别为元、元、元，共需支付的金额（单位：元）为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵个“麋鹿王”费用为元，个“盐小勺”费用为元，个“盐小饼”费用为元， ∴总金额为元． 2．某城市居民用水每吨2.85元，某户本月底水表显示为（单位：t），上月底水表显示为（单位：t），则本月应交水费________元． 【答案】 【分析】先求出本月实际用水量，再根据总价等于单价乘用水量计算应交水费． 【详解】解：本月实际用水量为本月底水表读数减去上月底水表读数，即， ∵每吨水的价格为元， ∴本月应交水费为元． 3．用代数式表示： (1)长为cm、宽为cm的长方形的周长是多少？ (2)开学时爸爸给小强元，小强买文具用去了元，还剩多少元？ (3)某机关原有工作人员人，被抽调下基层工作后，留在该机关工作的还有多少人？ (4)甲每小时走千米，乙每小时走千米，两人同时同地出发反向行走，小时后，他们之间的距离是多少？ 【答案】(1)cm (2)元 (3)人 (4)千米 【分析】本题考查了列代数式，理解题意是解题关键． （）根据长方形周长公式 “周长(长宽)”，直接代入长和宽，得到代数式； （）根据小强剩下的钱数开学爸爸给小强钱数小强买文具用的钱数，列出式子即可； （）先算出抽调的人数 (原有人的，即)，再用“原有人数抽调人数”，得到； （）根据“路程速度时间”，分别算出甲、乙小时走的路程，反向行走时总距离为两人路程之和是千米； 【详解】（1）解：∵长方形长为、宽为， ∴长方形的周长是； （2）∵剩余钱数总钱数花费钱数， ∴由题意得：小强还剩元； （3）∵原有工作人员人，被抽调下基层工作， ∴留在该机关工作的还有人； （4）∵甲每小时走千米，乙每小时走千米， ∴小时后，甲走的路程千米，乙走的路程千米， ∵两人同时同地出发反向行走， ∴甲、乙之间的距离是千米， 即千米. 题型2.代数式的概念、书写规范与代数式的实际意义 1．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中代数式有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：①是代数式． ②是代数式． ③含有等号，不是代数式． ④是代数式． ⑤含有等号，不是代数式． ⑥含有等号，不是代数式． ⑦是代数式． 代数式一共有个． 2．下列式子中，；； ；符合代数式书写的是______． 【答案】 【分析】本题考查了代数式，根据代数式书写要求即可求解，解题的关键是掌握代数式的书写要求：（）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写；（）带分数要写成假分数的形式． 【详解】解：符合代数式书写，符合题意； 原表达式不符合代数式书写，应写成，不符合题意； 原表达式不符合代数式书写，应写成，不符合题意； 原表达式不符合代数式书写，应写成，不符合题意； 故答案为：． 3．某电商出售一种苹果，在网上发布的销售量与销售额的关系如下表： 销售量 1 2 3 4 … 销售额y/元 16.4 24.6 32.8 … (1)请分别计算出当，时，y的值． (2)请写出用x表示y的代数式． 【答案】(1)当时，元；当时，元 (2) 【分析】此题考查了列代数式． （1）从表格可知每千克销售量的销售额为元，据此进行解答即可； （2）从表格可知每千克销售量的销售额为元，据此写出用x表示y的代数式即可 【详解】（1）解：根据表格中的数据可知，每千克销售量的销售额为元，则 当时，元； 当时，元 （2）解：根据每千克销售量的销售额为元可得： ． 题型3.单项式的识别，单项式的系数、次数 1．给出下列式子：，．其中单项式的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，是单项式 ，不是单项式 ∴单项式共有3个． 2．单项式的系数是_______，次数是_______；多项式是_______次______项式． 【答案】 4 二 三 【分析】根据单项式系数、次数的定义，多项式的定义进行解答即可． 【详解】解：单项式的系数是，次数为； 多项式是二次三项式． 3．已知多项式是四次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同．求的值． 【答案】6 【分析】根据多项式的次数以及单项式的次数的定义求得，的值，进而求得的值． 【详解】解：∵多项式是四次四项式， ∴， ∴， ∵单项式的次数与这个多项式的次数相同， ∴， ∴． 题型4.多项式的识别，多项式的项、项数、次数 1．下列代数式，，，，，，中，多项式有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【详解】解：、、、为单项式； 分母含字母，不是整式，不属于多项式， 、为多项式，故有2个． 2．多项式 是__________次__________项式． 【答案】 三 三 【分析】先分别计算多项式内每个单项式的次数，取最高值作为多项式的次数，再统计单项式的总个数确定项数． 【详解】解：拆分多项式的所有组成项，分别为，，， 计算每个项的次数：的次数为，的次数为，的次数为， 多项式的次数最高的项的次数是， 该多项式的最高次数为， 该多项式共包含个独立的单项式， 该多项式为三次三项式． 3．有下列式子：，，2027，，m，，，． (1)哪些是单项式？哪些是多项式？ (2)哪个多项式的次数最高？并写出该多项式的项． 【答案】(1)单项式：；多项式：，， (2)多项式的次数最高，该多项式的项为和 【分析】（1）根据单项式、多项式的定义：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式，即可解答． （2）分别算出每一个多项式的最高次数，对比选出次数最高的多项式，再写出它包含的各项． 【详解】（1）解：根据单项式定义：单独数字、字母，数与字母乘积，分母不含字母的式子为单项式． 单项式：，2027，，，． 几个单项式的和是多项式， 多项式：，，． （2）解：，最高次是次； ，最高项次数：次； ，最高项次数：次． 所以次数最高的多项式是． 该多项式的项为和． 题型5.整式、同类项的基础识别判断 1．给出下列式子：0，，，，其中整式的个数是（     ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据单项式和多项式统称整式逐个判断即可． 【详解】解：0和都是单项式，属于整式；是多项式，属于整式；的分母含有字母，不是整式．所以整式共有3个． 2．多项式的最高次项是______，常数项是______，同类项是______． 【答案】 和 【分析】本题考查多项式的次数，项数和项，同类项的判断，根据最高次项是多项式中次数最高的项；常数项是不含字母的项；同类项是所含字母相同且相同字母的指数也相同的项，据此进行作答即可． 【详解】解：多项式中， 各项次数分别为：次数为2；次数为2；次数为3；次数为2；次数为0； 故最高次项为；常数项为； 同类项是：和； 故答案为：，，和 3．先标出下列各多项式中的同类项，再合并同类项： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)； 【分析】先标出各多项式中的同类项，再按合并同类项法则计算． 【详解】（1） 解：； （2） 解：； （3） 解：． 题型6.已知字母的值求代数式的值 1．当时，代数式的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据求代数式的值的基本方法，解答即可． 【详解】解：当时，原式． 2．已知，，且，则的值等于_______． 【答案】7或 【分析】由绝对值求出x、y的可能取值，再由定同号，分类讨论求的值． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴． ∵， ∴x、y同号， 当，时，； ，时，． 综上，的值为7或． 3．小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)求的值； (3)判断“”运算是否满足交换律，即对于任意有理数、，是否有？请通过代数推导说明理由． 【答案】(1) (2) (3)满足交换律，理由如下： 对任意有理数，， ， ， 即， 故该运算满足交换律． 【分析】（1）直接把数字代入新运算公式计算； （2）按照先括号内后括号外的顺序进行运算； （3）分别写出、，判断两者是否相等． 【详解】（1）解：根据题意可知，． （2）解：， 则． （3） 略 题型7.整体代入求代数式的值 1．已知，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式求值中的整体代入法，条件中已知，那么可得出，从而得出答案． 【详解】因为，所以． 2．已知式子的值是，则式子的值为___________． 【答案】 【分析】将已知代数式的值代入未知代数式计算，得到的结果就是未知代数式的值． 【详解】解：将代入，得：． 3．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数． (1)若，求的值； (2)若n的绝对值为4，求的值． 【答案】(1) (2) 或 【详解】（1）解： ∵、互为相反数，、互为倒数， ∴，， 当时， ． （2）解：∵， ∴或， ， 当时，； 当时，； 综上所述，原式的值为或． 题型8.利用同类项求字母的值 1．若与是同类项，那么（     ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据同类项的定义，可得，，求出、后计算． 【详解】解：与是同类项， ∴的指数相等：， 解得； 的指数相等：， 解得； ∴． 2．单项式与是同类项，那么________． 【答案】5 【分析】根据同类项定义，相同字母的指数分别相等，列方程求出m、n的值，再计算的结果． 【详解】解：∵ 单项式与是同类项， ∴，， 解得：，， ∴． 3．已知多项式中存在同类项，请求出m，n的值，并计算的值． 【答案】 当，时，；当，时， 【分析】本题考查了同类项的定义，解题的关键是根据同类项中相同字母的指数分别相等，列出关于、的方程并求解． 先根据同类项的定义，得到和；再解这两个方程求出、的值；最后将、的值代入计算． 【详解】解：∵ 多项式中存在同类项， ∴ 只有与或可能为同类项． 若与为同类项， 则，， 解得， 若与为同类项， 则，， 解得， 当，时，， 当，时，． 题型9.合并同类项、去括号与添括号 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，故选项A错误； B、与不是同类项，不能合并，故选项B错误； C、，故选项C错误； D、，故选项D正确． 2．根据去括号法则，在下面各式中填“”或“”： （）____________； （）______． 【答案】 【分析】当括号前为正号，去括号后各项符号不变，当括号前为负号，去括号后各项改变符号，据此解答即可． 【详解】解：（）； （）． 3．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，解题的关键是掌握去括号法则和合并同类项法则． （1）去括号，再合并同类项进行化简； （2）去括号，再合并同类项进行化简． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型10.整式的加减运算 1．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ． 2．已知有理数a，b，c，且，则化简_______． 【答案】/ 【分析】根据判断绝对值内代数式的正负，再利用绝对值的性质化简计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ，， ∴ ． 3．先去括号，再合并同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型11.整式加减化简求值 1．已知，，则的值为（    ） A． B． C．0 D．30 【答案】C 【详解】解： ， 将，代入， 得 ． 2．化简：________；当，时，它的值是________；________． 【答案】 / 3 / 【详解】解：， 当，时，原式； ． 3．先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【详解】解： ， 当，时， 原式． 题型12.整式加减无关型问题 1．若多项式中不含和项，则、的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：∵多项式不含项和项， ∴，． 解得，． 2．关于的代数式的值与的取值无关，则的值为_____． 【答案】 【分析】首先利用整式的加减运算法则化简，然后根据题意得到，，求出a，b的值代入计算即可． 【详解】解： ∵关于的代数式的值与的取值无关 ∴， ∴， ∴． 3．已知多项式．若的结果与x的取值无关，求的值． 【答案】 【详解】解： ． 因为的结果与x的取值无关， 所以， 所以， 所以． 题型13.整式加减的实际应用 1．已知一个多项式与的和等于，则这个多项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得这个多项式为 . 2．小韩和同学们在一家快餐店吃饭，下表为快餐店的菜单： 种类 配餐 价格（元） 优惠活动 A餐 1份盖饭 20 消费满150元，减24元 消费满300元，减48元 … B餐 1份盖饭+1杯饮料 28 C餐 1份盖饭+1杯饮料+1份小菜 32 小韩记录大家的点餐种类，并根据菜单一次点好，已知他们所点的餐共有11份盖饭，x杯饮料和5份小菜， （1）他们共点了______份B餐． （2）若他们至少需要6杯饮料，要使所花费的钱数最少，则应该点_______份B餐． 【答案】 【分析】（1）只有C餐含小菜，可得C餐共5份，剩余饮料都来自B餐，每份B餐1杯饮料，由此得B餐数量； （2）第二问先表示出三种餐的数量，列出总花费表达式，结合x的范围和优惠规则计算不同情况的花费，找到最小值对应的B餐数量． 【详解】解：（1）∵只有C餐包含小菜，共有5份小菜， ∴C餐点了5份，5份C餐共含5杯饮料， ∵只有B餐和C餐含饮料，每份B餐含1杯饮料， ∴B餐的份数为． （2）∵C餐点了5份，B餐点了份，每份都含1份盖饭， ∴A餐的份数为． 总花费， 由题意得 ，且为整数，分别计算优惠后花费： 当时，原价元，优惠后元． 当时，原价元，优惠后元． 当时，原价元，优惠后元． 当时，原价元，优惠后元． 当时，原价元，优惠后元． 当时，原价元，优惠后元． 对比可知时花费最少，此时B餐份数为． 3．如图，幸福小区有一块长为，宽为的长方形空地，物业计划在这片空地上修建一个三角形和一个四分之一圆的花坛，其余部分种上草坪（阴影部分）．已知三角形花坛的底边长为， (1)根据图中的信息，用含的代数式表示下列图形的面积： ①三角形花坛的面积为___________ ②四分之一圆花坛的面积为___________；（结果保留π） (2)用含的代数式表示草坪的面积；（结果保留π） (3)若种植草坪每平方米的费用为50元，当时，物业种植完这块草坪一共需要多少元？（π取3） 【答案】(1)①；②． (2) (3)1050元 【分析】（1）①直接利用三角形的面积公式求解即可；②根据圆的面积公式结合已知条件即可解答； （2）用长方形的面积减去三角形的面积和一个四分之一圆的面积即可； （3）将代入（2）所得的代数式求得面积，然后求费用即可． 【详解】（1）解：①由题意可知：三角形的面积为； ②由题意可知：四分之一圆花坛的面积为． （2）解：草坪的面积为． （3）解：当时，草坪面积为， 物业种植完这块草坪的费用为：元． 题型14.程序流程图与代数式求值 1．按照如图所示的程序计算，若，则输出的结果是 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】框图的运行规则是：先输入x，计算，再判断该结果是否大于0；若大于0则输出，若不大于0则把这次算出的结果当作新的x重新代入继续计算，直到结果大于0为止． 【详解】解：把代入：； 因为，不满足大于0，所以走“否”的分支， 把作为新的x，重新计算：； 因为成立，所以走“是”的分支，输出结果16； 因此输出的结果是16． 2．按如图所示的程序运算，若输入x的值是15，第1次输出的结果是18，则第2026次输出的结果是______． 【答案】4 【详解】解：若输入x的值是15， 第1次输出的结果：， 第2次输出的结果：， 第3次输出的结果：， 第4次输出的结果：， 第5次输出的结果：， 第6次输出的结果：， 第7次输出的结果：， 第8次输出的结果：， 第9次输出的结果：， …， ∵， ∴第2026次输出的结果是4． 3．数学活动课上，小奕利用电脑的技术设计了如图的程序． (1)按照上面的程序计算，请你写出最终输出的结果；（结果需要化简） (2)若输入的数值为，则输出的结果是多少？ 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了整式的运算以及代数式求值，熟练掌握整式的运算法则如完全平方公式、乘法分配律等和代入求值的方法是解题的关键． （1）首先根据程序图的顺序，对输入的按照“加、平方、减、乘”的步骤列出代数式，然后对其进行化简； （2）把代入（1）中化简后的代数式，通过计算得出结果． 【详解】（1）解：根据题意得： ； （2）解：当时， 原式 ． 题型15.带有字母的绝对值化简问题 1．下面说法正确的是（     ）①绝对值不大于2的数有，0；②一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；③平方后等于4的数是2；④若，则；⑤若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①绝对值不大于2即，满足条件的数有无数个，并非只有，故①错误； ②正数和0的绝对值等于其本身，即绝对值等于本身的数是非负数，故这个数不是负数，②正确； ③平方后等于4的数是，故③错误； ④若，则，与矛盾，故，④正确； ⑤由得，满足该式的为非正数，即，故⑤正确； 综上，正确的说法有②④⑤，共3个. 2．已知，，若a，b异号，则________． 【答案】或 【分析】根据绝对值的定义得到和的所有可能取值，再根据，异号的条件，分类计算的值． 【详解】解：∵， ∴或． ∵， ∴或． ∵，异号， ∴分两种情况讨论： 当，时，； 当，时，． 3．有理数，，在数轴上的位置如图所示． (1)比较大小：___________0；___________0；___________0；（填“>”“<”或“=”） (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）根据点在数轴上的位置，判断式子的符号即可； （2）根据绝对值的意义，结合（1）中式子的符号，化简绝对值即可． 【详解】（1）解：由数轴可知：，， ∴，； （2）解：由（1）可知：，，， ∴． 题型16.数字、图形类规律探索 1．如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序，第一次计算输出的结果是，第二次计算输出的结果是，…，这样下去，第次计算输出的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据流程图求出前几个数字，确定循环规律，根据规律求解即可． 【详解】解：当输入的值是时， 是偶数， 第一次输出的结果是， 是奇数， 第二次输出的结果是， 是偶数， 第三次输出的结果是， 是奇数， 第四次输出的结果是， 是偶数， 第五次输出的结果是， 是偶数， 第六次输出的结果是， 是偶数， 第七次输出的结果是， 是奇数， 第八次输出的结果是， 是偶数， 第九次输出的结果是， ， 由规律可知，从第三次开始输出的结果是、、、循环出现， ， 第次输出的结果是． 2．用小棒摆三角形图案：摆 1 个三角形用 3 根小棒，摆 2 个用 5 根，摆 3 个用 7 根……按此规律，摆第 8 个图案用_______根小棒，摆第个图案用______根小棒（用含的式子表示），摆前 8 个图案一共用______根小棒． 【答案】 【分析】根据题目信息，总结规律即可． 【详解】解：摆 1 个三角形用 3 根小棒，摆 2 个用 5 根，摆 3 个用 7 根…… 多一个三角形，每次增加2根， 摆第 8 个图案用根小棒； 摆第个图案用根小棒； 摆 1 个三角形用 3 根小棒，摆 2 个用 5 根，摆 3 个用 7 根，摆 4 个用 根，摆 5个用 根，摆 6个用 根，摆 7个用 根，摆 8个用 根， 所以，摆前 8 个图案一共用根小棒． 3．一串有黑有白，其排列有一定规律的珠子，被盒子遮住一部分（如图），则这串珠子被盒子遮住的部分有多少颗？ 思考： (1)一位同学小杰，观察变化规律是：两颗白珠子之间黑珠子的数量依次为1颗，2颗．．．，因此被遮住部分有_____颗； (2)另一位同学小磊，可以跳一级找规律：依次为1颗，3颗，紧跟着是5颗，．．．，9，因此被遮住部分的珠子有_____颗． 请你按照上述两位同学的思路，列式计算出（或表述出）相应结果． 【答案】(1)27 (2)27 【分析】（1）白珠间隔的黑珠数依次递增，盒左到4颗黑珠段，盒右露出8颗黑珠中的2颗，中间被遮挡部分包含5、6、7段黑珠及间隔白珠． （2）跳一级观察奇数段黑珠数1，3，5，7，仅为找规律的观察方式，偶数段珠子仍存在，遮挡珠子总数不变． 【详解】（1）解：两颗白珠子之间黑珠子数量依次：1，2，3，4，5，6，7，8，9， 盒子左边相邻白珠间黑珠是颗，盒子右边相邻白珠间黑珠是颗， 盒子内包含：黑珠子5，6，7，8颗；右边8颗黑珠露出颗， 所以8里面遮住（颗）． 黑珠子总数： （颗）， 盒子内还有颗白珠子， （颗）； （2）解：跳一级找规律，隔一段选取黑珠段，取出奇数段黑珠数量依次为1，3，5，7，9； 跳一级只是观察规律的方式，原数列被跳过的偶数段2，4，6，8仍然真实存在，珠子实际排列不变． 盒子左侧结束在4颗黑珠这一段之后，盒子右侧露出8颗黑珠中的2颗， 盒子遮住部分包含：5黑、1白、6黑、1白、7黑、1白，以及8黑剩下颗黑珠， 被遮住珠子总数：（颗）． ✵分层专项训练 一、单选题 1．下列说法正确的是（     ） A．是三次三项式 B．的次数是6 C．的系数是 D．的常数项是3 【答案】C 【分析】注意为常数、单项式次数不含数字的指数、多项式的常数项带符号，逐一判断各选项． 【详解】解：A、的最高次项为，次数为，是二次三项式，原说法错误，不符合题意； B、的次数为，原说法错误，不符合题意； C、的系数是，原说法正确，符合题意； D、的常数项是，原说法错误，不符合题意． 2．一次竞赛共有30道选择题，规定：答对一道得3分，不答或答错一道扣1分，如果某位学生答对了a道题，则用式子表示他的成绩（单位：分）为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得出不答或答错的题数，列式可得结论． 【详解】解：由题意得，该生不答或答错了道题，则答对得分为分，扣分为分， 所以他的成绩为． 3．若，，且，则的值为（     ） A．或 B． C．1或5 D．或5 【答案】A 【分析】先求出,的所有可能取值，再结合的条件筛选后，计算的值. 【详解】解：∵， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴不符合条件，舍去，即. 当时，. 当时，. ∴的值为或. 4．如果单项式与的和是单项式，那么的值为（     ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项．根据同类项的定义求出m、n的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：由题意得，与是同类项， ∴，， ∴，， ∴． 5．已知，，且的值与、的取值无关，则的值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】先化简，根据其值与、无关，令含、的项的系数为，求解、后代入计算． 【详解】解：， ， ， ， ∵ 的值与、的取值无关， ∴ ，， 解得 ，， ∴ ． 二、填空题 6．下列式子中，整式有________（填写序号） ①  ②0  ③  ④  ⑤  ⑥ 【答案】①②③④⑤ 【分析】此题主要考查了整式的定义，直接利用单项式和多项式统称为整式，进而判断得出答案． 【详解】解：①是单项式，也是整式； ②0是单项式，也是整式； ③是多项式，也是整式； ④是单项式，也是整式； ⑤是多项式，也是整式； ⑥分母中有字母，不是整式； 故答案为：①②③④⑤． 7．如果关于x、y的单项式与的和是一个单项式，那么___________ . 【答案】13 【详解】解：由题意得：单项式 与 是同类项， ∴，， 解得， ∴． 8．下列图形都是由同样大小的按一定规律组成的，其中第个图形中一共有个，第个图形中一共有个，第个图形中一共有个，，按此规律排列，则第个图形中的个数为_______． 【答案】 【分析】写出各图形中三角形的个数和，然后根据变化规律写出第个图形中的个数，再取进行计算即可得解． 【详解】解：第①个图形中三角形有：（个）， 第②个图形中三角形有：（个）， 第③个图形中三角形有：（个）， ， 依此类推，第个图形中三角形有（个）， 所以，第⑥个图形中三角形个数一共是：（个）． 三、解答题 9．先化简，再求值：，其中． 【答案】，−4 【详解】解：原式 当时，原式． 10．已知多项式． (1)若多项式的值与字母x的取值无关，求a，b的值； (2)在（1）的条件下，求多项式的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先根据整式加减运算法则进行计算，将原整式化简为，根据多项式的值与字母x的取值无关，求出，； （2）先去括号，合并同类项，将原整式化简为，然后代入数据计算即可． 【详解】（1）解： ， 因为多项式的值与字母的取值无关， 所以，， 所以，． （2）解： ． 把，代入， 原式． 11．点、在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是和． (1)用“”、“”、“”填空：_________；_________；_________；_________； (2)若，，、互为相反数，、互为倒数，求的值． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】（1）根据数轴可得， 再根据有理数加减、绝对值的几何意义比较大小即可； （2）利用绝对值的意义、相反数和倒数的定义得到，，，，然后再代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，， ∴，，，； （2）解：∵，，、互为相反数，、互为倒数，， ∴，，，， ∴ ． 12．【规律探索】 如图，观察上述各图形，我们会发现： 图1空白部分小正方形的个数是， 图2空白部分小正方形的个数是， 图3空白部分小正方形的个数是； (1)像这样继续排列下去，请写出第8幅图对应的算式：________． (2)请再写出第幅图对应的算式：________（用含有字母的算式表示，其中为正整数）． (3)【问题解决】________． 【答案】(1) (2) (3)2053351 【分析】（1）观察可得空白部分小正方形的个数等于最大的正方形的面积减去阴影部分的正方形的面积，据此规律求解即可； （2）根据（1）可得答案； （3）把所求式子按照（2）结论将原式分组，转化为连续整数的和，再进行计算． 【详解】（1）解：图1空白部分小正方形的个数是， 图2空白部分小正方形的个数是， 图3空白部分小正方形的个数是； ……， 以此类推可知，图n空白部分小正方形的个数是， ∴第8幅图对应的算式为； （2）解：由（1）可得第幅图对应的算式为； （3）解： ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05整式及其加减期中复习讲义 ✵复习目标 · 理解用字母表示数的意义，能结合实际情境列出代数式，掌握代数式书写规范，会求代数式的值。 · 准确辨析单项式、多项式、整式，能正确说出单项式的系数、次数，多项式的项、常数项、次数。 · 理解同类项的概念，熟练运用合并同类项法则、去括号法则进行整式加减运算。 · 掌握化简求值的方法，理解整体代入思想；会用整式表示数字、图形规律，解决简单实际问题。 ✵高频题型梳理 题型1.用字母表示数、列代数式 题型2.代数式的概念、书写规范与代数式的实际意义 题型3.单项式的识别，单项式的系数、次数 题型4.多项式的识别，多项式的项、项数、次数 题型5.整式、同类项的基础识别判断 题型6.已知字母的值求代数式的值 题型7.整体代入求代数式的值 题型8.利用同类项求字母的值 题型9.合并同类项、去括号与添括号 题型10.整式的加减运算 题型11.整式加减化简求值 题型12.整式加减无关型问题 题型13.整式加减的实际应用 题型14.程序流程图与代数式求值 题型15.带有字母的绝对值化简问题 题型16.数字、图形类规律探索 ✵核心知识梳理 知识点一、代数式 用运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式。单独一个数或一个字母也是代数式。 代数式书写规范：数字与字母相乘，数字写在前，省略乘号；除法运算写成分数形式；带分数要化为假分数。 代数式的值：用数值代替代数式中的字母，按照代数式规定的运算计算得到的结果，叫做代数式的值。 知识点二、单项式 由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独一个数或一个字母也是单项式。 单项式中的数字因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母的指数之和叫做单项式的次数。 说明：系数包含前面的符号；π是常数，不是字母。 知识点三、多项式 几个单项式的和叫做多项式。多项式中的每一个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 多项式中，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。 知识点四、整式 单项式和多项式统称为整式。分母中含有字母的代数式不是整式。 知识点五、同类项 1.所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。所有常数项都是同类项。同类项与系数大小、字母排列顺序无关。 2.合并同类项 同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。合并同类项的依据是乘法分配律。 知识点六、去括号 去括号法则: 括号前是正号，去掉括号和它前面的正号，括号内各项符号不变；括号前是负号，去掉括号和它前面的负号，括号内各项都改变符号。括号前有数字因数时，数字因数要乘括号内每一项，不能漏乘。 知识点七、整式的加减 整式加减运算步骤：先去括号，再合并同类项。运算结果一般按某一个字母的降幂（或升幂）排列，结果中不再含有同类项。 知识点八、探索规律 观察序号与对应数量的关系，用代数式表示一般规律，代入数值检验。 ✵易错提醒 1.单项式的系数包含符号；次数只计算字母的指数和，\(\boldsymbol{\pi}\)是常数，不计入单项式次数。 2.判断同类项，只看所含字母、相同字母的指数，不受系数、字母排列顺序干扰。 3.去括号是高频易错点：括号前为负号，括号内每一项都变号；括号前有乘数，必须乘遍括号内所有项。 4.合并同类项只合并系数，字母与字母的指数保持不变，不是同类项不能合并。 5.代入负数、分数进行乘方求值时，必须给负数、分数添加括号。 6.整式判定：分母含有字母的式子不属于整式。 ✵典例精讲 题型1.用字母表示数、列代数式 1．在“苏超”场外市集上，小军购买了个“麋鹿王”、 个“盐小勺”、 个“盐小饼”，它们的单价分别为元、元、元，共需支付的金额（单位：元）为（     ） A． B． C． D． 2．某城市居民用水每吨2.85元，某户本月底水表显示为（单位：t），上月底水表显示为（单位：t），则本月应交水费________元． 3．用代数式表示： (1)长为cm、宽为cm的长方形的周长是多少？ (2)开学时爸爸给小强元，小强买文具用去了元，还剩多少元？ (3)某机关原有工作人员人，被抽调下基层工作后，留在该机关工作的还有多少人？ (4)甲每小时走千米，乙每小时走千米，两人同时同地出发反向行走，小时后，他们之间的距离是多少？ 题型2.代数式的概念、书写规范与代数式的实际意义 1．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中代数式有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列式子中，；； ；符合代数式书写的是______． 3．某电商出售一种苹果，在网上发布的销售量与销售额的关系如下表： 销售量 1 2 3 4 … 销售额y/元 16.4 24.6 32.8 … (1)请分别计算出当，时，y的值． (2)请写出用x表示y的代数式． 题型3.单项式的识别，单项式的系数、次数 1．给出下列式子：，．其中单项式的个数是（     ） A． B． C． D． 2．单项式的系数是_______，次数是_______；多项式是_______次______项式． 3．已知多项式是四次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同．求的值． 题型4.多项式的识别，多项式的项、项数、次数 1．下列代数式，，，，，，中，多项式有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．多项式 是__________次__________项式． 3．有下列式子：，，2027，，m，，，． (1)哪些是单项式？哪些是多项式？ (2)哪个多项式的次数最高？并写出该多项式的项． 题型5.整式、同类项的基础识别判断 1．给出下列式子：0，，，，其中整式的个数是（     ）． A．1 B．2 C．3 D．4 2．多项式的最高次项是______，常数项是______，同类项是______． 3．先标出下列各多项式中的同类项，再合并同类项： (1)； (2)； (3)． 题型6.已知字母的值求代数式的值 1．当时，代数式的值是（     ） A． B． C． D． 2．已知，，且，则的值等于_______． 3．小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)求的值； (3)判断“”运算是否满足交换律，即对于任意有理数、，是否有？请通过代数推导说明理由． 题型7.整体代入求代数式的值 1．已知，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 2．已知式子的值是，则式子的值为___________． 3．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数． (1)若，求的值； (2)若n的绝对值为4，求的值． 题型8.利用同类项求字母的值 1．若与是同类项，那么（     ） A．0 B．1 C． D． 2．单项式与是同类项，那么________． 3．已知多项式中存在同类项，请求出m，n的值，并计算的值． 题型9.合并同类项、去括号与添括号 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．根据去括号法则，在下面各式中填“”或“”： （）____________； （）______． 3．化简： (1)； (2)． 题型10.整式的加减运算 1．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 2．已知有理数a，b，c，且，则化简_______． 3．先去括号，再合并同类项： (1)； (2)． 题型11.整式加减化简求值 1．已知，，则的值为（    ） A． B． C．0 D．30 2．化简：________；当，时，它的值是________；________． 3．先化简，再求值：，其中，． 题型12.整式加减无关型问题 1．若多项式中不含和项，则、的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 2．关于的代数式的值与的取值无关，则的值为_____． 3．已知多项式．若的结果与x的取值无关，求的值． 题型13.整式加减的实际应用 1．已知一个多项式与的和等于，则这个多项式是（     ） A． B． C． D． 2．小韩和同学们在一家快餐店吃饭，下表为快餐店的菜单： 种类 配餐 价格（元） 优惠活动 A餐 1份盖饭 20 消费满150元，减24元 消费满300元，减48元 … B餐 1份盖饭+1杯饮料 28 C餐 1份盖饭+1杯饮料+1份小菜 32 小韩记录大家的点餐种类，并根据菜单一次点好，已知他们所点的餐共有11份盖饭，x杯饮料和5份小菜， （1）他们共点了______份B餐． （2）若他们至少需要6杯饮料，要使所花费的钱数最少，则应该点_______份B餐． 3．如图，幸福小区有一块长为，宽为的长方形空地，物业计划在这片空地上修建一个三角形和一个四分之一圆的花坛，其余部分种上草坪（阴影部分）．已知三角形花坛的底边长为， (1)根据图中的信息，用含的代数式表示下列图形的面积： ①三角形花坛的面积为___________ ②四分之一圆花坛的面积为___________；（结果保留π） (2)用含的代数式表示草坪的面积；（结果保留π） (3)若种植草坪每平方米的费用为50元，当时，物业种植完这块草坪一共需要多少元？（π取3） 题型14.程序流程图与代数式求值 1．按照如图所示的程序计算，若，则输出的结果是 （ ） A． B． C． D． 2．按如图所示的程序运算，若输入x的值是15，第1次输出的结果是18，则第2026次输出的结果是______． 3．数学活动课上，小奕利用电脑的技术设计了如图的程序． (1)按照上面的程序计算，请你写出最终输出的结果；（结果需要化简） (2)若输入的数值为，则输出的结果是多少？ 题型15.带有字母的绝对值化简问题 1．下面说法正确的是（     ）①绝对值不大于2的数有，0；②一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；③平方后等于4的数是2；④若，则；⑤若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知，，若a，b异号，则________． 3．有理数，，在数轴上的位置如图所示． (1)比较大小：___________0；___________0；___________0；（填“>”“<”或“=”） (2)化简：． 题型16.数字、图形类规律探索 1．如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序，第一次计算输出的结果是，第二次计算输出的结果是，…，这样下去，第次计算输出的结果是（     ） A． B． C． D． 2．用小棒摆三角形图案：摆 1 个三角形用 3 根小棒，摆 2 个用 5 根，摆 3 个用 7 根……按此规律，摆第 8 个图案用_______根小棒，摆第个图案用______根小棒（用含的式子表示），摆前 8 个图案一共用______根小棒． 3．一串有黑有白，其排列有一定规律的珠子，被盒子遮住一部分（如图），则这串珠子被盒子遮住的部分有多少颗？ 思考： (1)一位同学小杰，观察变化规律是：两颗白珠子之间黑珠子的数量依次为1颗，2颗．．．，因此被遮住部分有_____颗； (2)另一位同学小磊，可以跳一级找规律：依次为1颗，3颗，紧跟着是5颗，．．．，9，因此被遮住部分的珠子有_____颗． 请你按照上述两位同学的思路，列式计算出（或表述出）相应结果． ✵分层专项训练 一、单选题 1．下列说法正确的是（     ） A．是三次三项式 B．的次数是6 C．的系数是 D．的常数项是3 2．一次竞赛共有30道选择题，规定：答对一道得3分，不答或答错一道扣1分，如果某位学生答对了a道题，则用式子表示他的成绩（单位：分）为（     ） A． B． C． D． 3．若，，且，则的值为（     ） A．或 B． C．1或5 D．或5 4．如果单项式与的和是单项式，那么的值为（     ） A． B．0 C．1 D． 5．已知，，且的值与、的取值无关，则的值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．9 二、填空题 6．下列式子中，整式有________（填写序号） ①  ②0  ③  ④  ⑤  ⑥ 7．如果关于x、y的单项式与的和是一个单项式，那么___________ . 8．下列图形都是由同样大小的按一定规律组成的，其中第个图形中一共有个，第个图形中一共有个，第个图形中一共有个，，按此规律排列，则第个图形中的个数为_______． 三、解答题 9．先化简，再求值：，其中． 10．已知多项式． (1)若多项式的值与字母x的取值无关，求a，b的值； (2)在（1）的条件下，求多项式的值． 11．点、在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是和． (1)用“”、“”、“”填空：_________；_________；_________；_________； (2)若，，、互为相反数，、互为倒数，求的值． 12．【规律探索】 如图，观察上述各图形，我们会发现： 图1空白部分小正方形的个数是， 图2空白部分小正方形的个数是， 图3空白部分小正方形的个数是； (1)像这样继续排列下去，请写出第8幅图对应的算式：________． (2)请再写出第幅图对应的算式：________（用含有字母的算式表示，其中为正整数）． (3)【问题解决】________． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $