专题09 直角三角形的存在性问题-2024年中考数学二次函数压轴题核心考点突破

专题09 直角三角形的存在性问题 一、知识导航 【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1,1），点B坐标为（5,3），在x轴上找一点C使得△ABC是直角三角形，求点C坐标． 【几何法】两线一圆得坐标 （1）若∠A为直角，过点A作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C； （2）若∠B为直角，过点B作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C； （3）若∠C为直角，以AB为直径作圆，与x轴的交点即为所求点C．（直径所对的圆周角为直角） 重点还是如何求得点坐标，求法相同，以为例： 【构造三垂直】 求法相同，以为例： 构造三垂直步骤： 第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线； 第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似． 【代数法】表示线段构勾股 还剩下待求，不妨来求下： （1）表示点：设坐标为（m，0），又A（1，1）、B（5，3）； （2）表示线段：，，； （3）分类讨论：当为直角时，； （4）代入得方程：，解得：． 还有个需要用到一个教材上并没有出现但是大家都知道的算法： 互相垂直的两直线斜率之积为-1． 考虑到直线与AB互相垂直，，可得：， 又直线过点A（1,1），可得解析式为：y=-2x+3， 所以与x轴交点坐标为，即坐标为． 确实很简便，但问题是这个公式出现在高中的教材上~ 【小结】 几何法：（1）“两线一圆”作出点； （2）构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数． 代数法：（1）表示点A、B、C坐标； （2）表示线段AB、AC、BC； （3）分类讨论①AB²+AC²=BC²、②AB²+BC²=AC²、③AC²+BC²=AB²； （4）代入列方程，求解． 如果问题变为等腰直角三角形存在性，则同样可采取上述方法，只不过三垂直得到的不是相似，而是全等． 二、典例精析 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是该抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式； （2）请在轴上找一点，使的周长最小，求出点的坐标； （3）试探究：在拋物线上是否存在点，使以点，，为顶点，为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】 （1）抛物线：，直线AC：y=3x+3； （2）看图，M点坐标为（0,3）与C点重合了． （3）考虑到AC为直角边，故分别过A、C作AC的垂线，与抛物线交点即为所求P点， 有如下两种情况， 先求过A点所作垂线得到的点P： 设P点坐标为， 则PM=m+1，AM=， 易证△PMA∽△ANC，且AN=3，CN=1， ∴，解得：，（舍）， 故第1个P点坐标为； 再求过点C所作垂线得到的点P： ，CN=m， ，解得：，（舍）， 故第2个P点坐标为． 综上所述，P点坐标为或． 三、中考真题演练 1．（2023·江苏·中考真题）如图，二次函数的图像与x轴相交于点，其顶点是C．      (1)_______； (2)D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围； (3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知是直角三角形，求点P的坐标． 2．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．    (1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“梦之点”的是___________； (2)点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是___________，直线的解析式是___________．当时，x的取值范围是___________． (3)如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接，，，判断的形状，并说明理由． 3．（2023·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点．    (1)求该抛物线的函数表达式； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 4．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为．直线过点，且平行于轴，与抛物线交于两点（在的右侧）．将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线交轴于点，顶点为．     　　   (1)当时，求点的坐标； (2)连接，若为直角三角形，求此时所对应的函数表达式； 5．（2022·山东济南·中考真题）抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线y＝kx－6经过