专题05 三角形面积最值问题-2024年中考数学二次函数压轴题核心考点突破

专题05 三角形面积最值问题 一、知识导航 求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、割补、等积变形、三角函数甚至海伦公式，本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种求面积的方法——铅垂法． 【问题描述】在平面直角坐标系中，已知、、，求△ABC的面积． 【分析】显然对于这样一个位置的三角形，面积公式并不太好用，割补倒是可以一试，比如这样： 构造矩形ADEF，用矩形面积减去三个三角形面积即可得△ABC面积． 这是在“补”，同样可以采用“割”： 此处AE+AF即为A、B两点之间的水平距离． 由题意得：AE+BF=6． 下求CD： 根据A、B两点坐标求得直线AB解析式为： 由点C坐标（4,7）可得D点横坐标为4， 将4代入直线AB解析式得D点纵坐标为2， 故D点坐标为（4,2），CD=5, ． 【方法总结】 作以下定义： A、B两点之间的水平距离称为“水平宽”； 过点C作x轴的垂线与AB交点为D，线段CD即为AB边的“铅垂高”． 如图可得： 【解题步骤】 （1）求A、B两点水平距离，即水平宽； （2）过点C作x轴垂线与AB交于点D，可得点D横坐标同点C； （3）求直线AB解析式并代入点D横坐标，得点D纵坐标； （4）根据C、D坐标求得铅垂高； （5）利用公式求得三角形面积． 【思考】如果第3个点的位置不像上图一般在两定点之间，如何求面积？ 铅垂法其实就是在割补，重点不在三个点位置，而是取两个点作水平宽之后，能求出其对应的铅垂高！因此，动点若不在两定点之间，方法类似： 【铅垂法大全】 （1）取AB作水平宽，过点C作铅垂高CD． （2）取AC作水平宽，过点B作BD⊥x轴交直线AC于点D，BD即对应的铅垂高， （3）取BC作水平宽，过点A作铅垂高AD． 甚至，还可以横竖互换，在竖直方向作水平宽，在水平方向作铅垂高． （4）取BC作水平宽，过点A作铅垂高AD． （5）取AC作水平宽，过点B作铅垂高BD． （6）取AB作水平宽，过点C作铅垂高CD． 二、典例精析 例一、 如图，已知抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为． （1）求该抛物线的表达式； （2）点为该抛物线上一动点（与点、不重合），设点的横坐标为m．当点在直线的下方运动时，求的面积的最大值． 【分析】 （1）， （2）取BC两点之间的水平距离为水平宽，过点P作PQ⊥x轴交直线BC于点Q，则PQ即为铅垂高． 根据B、C两点坐标得B、C水平距离为4， 根据B、C两点坐标得直线BC解析式：y=x+1， 设P点坐标为（m，m²+6m+5），则点Q（m，m+1）， 得PQ=-m²-5m-4， 考虑到水平宽是定值，故铅垂高最大面积就最大． 当时，△BCP面积最大，最大值为． 【小结】选两个定点作水平宽，设另外一个动点坐标来表示铅垂高． 例二、 在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），，经过点的一次函数的图像与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，的面积为5． （1）求抛物线和一次函数的解析式； （2）抛物线上的动点在一次函数的图像下方，求面积的最大值，并求出此时点的坐标． 【分析】 （1）抛物线解析式：； 一次函数解析式：． （2）显然，当△ACE面积最大时，点E并不在AC之间． 已知A（-1,0）、， 设点E坐标为，过点E作EF⊥x轴交直线AD于F点， F点横坐标为m，代入一次函数解析式得 可得 考虑到水平宽是定值，故铅垂高最大面积最大． 既然都是固定的算法，那就可以总结一点小小的结论了， 对坐标系中已知三点、、， 按铅垂法思路，可得： 如果能记住也不要直接用，可以当做是检验的方法咯． 【总结】铅垂法是求三角形面积的一种常用方法，尤其适用于二次函数大题中的三角形面积最值问题，弄明白方法原理，熟练方法步骤，加以练习，面积最值问题轻轻松松． 三、中考真题演练 1．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与y轴交于点C．    (1)求这个二次函数的表达式． (2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线交于点D，若点M是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值． 2．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．    (1)求b，c的值． (2)点是抛物线上的动点 ①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值； 3．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．    (1)求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点P的坐标； (2)求的面积． 注：抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 4．（2023·山东青岛·中考真题）如图，在菱形中，对角线相交于点O，，．动点P从