专题03 面积比例问题-2024年中考数学二次函数压轴题核心考点突破

专题03 面积比例问题 一、知识导航 除了三角形、四边形面积计算之外，面积比例也是中考题中常见的条件或结论，对面积比例的分析，往往比求面积要复杂得多，这也算是面积问题中最难的一类． 大部分题目的处理方法可以总结为两种：（1）计算；（2）转化． 本文结合19年各地中考题，简要介绍关于比例条件的一些运用方法． 策略一：运用比例计算类 综合与探究：如图，抛物线经过点，两点，与轴交于点，点是抛物线上一个动点，设点的横坐标为．连接，，，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）的面积等于的面积的时，求的值； 【分析】 （1）可重设解析式为交点式：，展开得：，常数项对应相等，-8a=6，解得：，故抛物线解析式为：． （2）考虑△AOC和△BCD并无太多关联，并且△AOC是确定的三角形，面积可求，故可通过面积比推导△BCD的面积． ， ， 此问题变为面积定值问题，就不难了． 【小结】利用面积比计算出所求三角形面积，再运用处理面积定值的方法即可解决问题． 策略二：转化面积比 如图，B、D、C三点共线，考虑△ABD和△ACD面积之比． 转化为底： 共高，面积之比化为底边之比：则． 更一般地，对于共边的两三角形△ABD和△ACD，连接BC，与AD交于点E，则． 策略三：进阶版转化 在有些问题中，高或底边并不容易表示，所以还需在此基础上进一步转化为其他线段比值，比如常见有：“A”字型线段比、“8”字型线段比． “A”字型线段比：． “8”字型线段比：． 以2019连云港中考填空压轴为例： 【2019连云港中考】 如图，在矩形中，，，以点为圆心作与直线相切，点是上一个动点，连接交于点，则的最大值是　　． 【分析】 AP、AT均为动线段，并不易于分析比值的最大值，故需转化线段． 构造“A”字型线段比： 过点P作PQ∥DB与AB的延长线交于点Q， 由平行得：，若要取到最大值，只要AQ最大即可． BC=3，，，， ，， 故最大值为． 思路2：构造“8”字型线段比是否可行？ 虽然问题是的比值，为便于构造“8”字，可转化为“+1”，即求的最大值， 过点P作PQ∥AB交BD延长线于Q点，可得：，考虑到AB是定线段，故只要PQ最大即可． 但是本题P点在圆上运动，故很难分析出点P在何位置，PQ取到最大值，若P点换个轨迹路线，或许就很容易分析了． 二、典例精析 例一、 已知抛物线经过点和点，与轴交于点，点为第二象限内抛物线上的动点． （1）抛物线的解析式为　　，抛物线的顶点坐标为　　； （2）如图，连接交于点，当时，请求出点的坐标． 【分析】 （1）；顶点坐标为（-1,4）． （2）根据可得CD：BD=1：2， 故D点是线段BC靠近点C的三等分点，又B（-3,0）、C（0,3）， ∴D点坐标为（-1,2）． 例二、 如图，抛物线与轴交于点和点（点在原点的左侧，点在原点的右侧），与轴交于点，． （1）求该抛物线的函数解析式． （2）如图，连接，点是直线上方抛物线上的点，连接，．交于点，当时，求点的坐标． 【分析】 （1）解析式： （2）显然△COF和△CDF共高，可将面积之比化为底边之比． ， 思路1：转化底边之比为“A”字型线段比 在y轴上取点E（0，5），（为何是这个点？因此此时OC：CE=3：2） 过点E作BC的平行线交x轴于G点， EG与抛物线交点即为所求D点， 根据平行线分线段成比例，OF：FD=OC：CE=3：2． 直线EG解析式为：y=-x+5， 与抛物线联立方程，得：， 解得：，． 故D点坐标为（1，4）或（2，3）． 思路2：转化底边之比为“8”字型线段比 过点D作DG∥y轴交BC边于点G，则，又OC=3，故点G满足DG=2即可．这个问题设D点坐标即可求解． 也可以构造水平“8”字，过点D作DG∥x轴交BC于点G，则，又OB=3，∴DG=2即可．但此处问题在于水平线段不如竖直线段易求，方法可行但不建议． 其实本题分析点的位置也能解： 思路3：设点D坐标为， 根据OF：DF=3：2，可得F点坐标为， 点F在直线BC上，将点坐标代入直线BC解析式：y=-x+3， ， 解得，， 故D点坐标为（1，4）或（2，3）． 这个计算的方法要求能理解比例与点坐标之间的关系，即由D点坐标如何得到F点坐标． 三、中考真题演练 1．（2023·山东青岛·中考真题）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨，的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．分米，点A到x轴的距离是分米，A，B两点之间的距离是4分米．    (1)求抛物线的表达式； (2)分别延长，交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离； (3)以抛物