二次函数下的线段最值问题和面积最大问题-冲刺2024数学中考二轮复习压轴题专题突破（全国通用）

二次函数二次函数下的线段最值问题和面积最大问题（原卷版） 第一部分：名师引路 二次函数下的线段最值问题和面积最大问题是中考的热点题型，两者往往又综合在一道题目里面，灵活多变，只有掌握核心方法才能得到高分。 模块一：二次函数下的线段最小值（包括两条线段和，三角形周长，四边形周长） （1）利用将军饮马模型及其变形的模型求最值 1．定点在同侧，需要对称转化为异侧； 2．动线段端点不重合，需要平移转化到同一点． 的线段 （2）胡不归问题：转化为将军饮马问题在求最值 （3）二次函数下的线段最大值 直接求线段的表达式：通过设参，求出线段长度的表达式，然后看作是二次函数，通过配方法，结合自变量取值范围，求出线段的最大值。 模块二：二次函数下的面积最大值 1．铅垂法：． 分三步走：（1）过动点作铅垂线，交另外两个定点连成的直线于一点； （2）设出点坐标，表示线段长； （3）利用二次函数配方求最值． 2．平行切线法：直线与抛物线相切，即联立解析式使． 3．图形割补法：将图形通过割补成几个“规则”图形，再求几部分的和或差。 第二部分：典例精析+针对训练 模块一 二次函数下的线段最值（包括线段和最小、周长最小） 思路一 利用将军饮马模型求最值 【典例1】（2023秋•莱州市期末）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使PA+PC的值最小，此时P的坐标为 　 　； 【针对训练】 1．（2023秋•自贡期末）已知抛物线y＝x2﹣（2m+4）x+m2+4m（m是常数）与x轴交于A，B两点，A在B的左侧． （1）若抛物线的对称轴为直线x＝3（如图），求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，C（a，﹣4），D（6，n）是抛物线上的两点，点P是y轴上的一动点，连接PC，PD，当△PCD的周长最小时，求点P的坐标； 2．（2023•海南模拟）如图，已知抛物线y＝ax2﹣4x+c经过点A（0，﹣6）和B（3，﹣9）． （1）求出抛物线的解析式； （2）写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标； （3）点P（m，m）与点Q均在抛物线上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q的坐标； （4）在满足（3）的情况下，在抛物线的对称轴上寻找一点M，使得△QMA的周长最小． 思路二 利用将军饮马的变形模型求最值 【典例2】如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（﹣2，0），O（0，0），B（0，4），把△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，得到△COD． （1）求C、D两点的坐标； （2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上取两点E、F（点E在点F的上方），且EF＝1，使四边形ACEF的周长最小，求出E、F两点的坐标． 【针对训练】 1．（威海一模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝AB＝2，OC＝3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F． （1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长； （3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ＝1，要使四边形BCPQ的周长最小，求出P、Q两点的坐标． 思路三 利用设参表示线段表达式求线段最大值 【典例3】（2022•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）． （1）求这条抛物线所对应的函数的表达式； （2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标； 【针对训练】 1.（2023秋•宁明县期末）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，AD为等腰直角△ABC底边BC上的高，抛物线y＝a（x﹣2）2+4的顶点为点A，且经过B、C两点，B、C两点在x轴上． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图2，点E为抛物线上位于直线AC上方的一点，过点E作EN⊥x轴交直线AC于点N，求线段EN的长度最大值及此时点E的坐标； （3）如图2，点M（5，b）是抛物线上的一点，点P为对称轴上一动点，在（2）的条件下，当线段EN的长度最大时，求PE+PM的最小值． 思路四 把胡不归问题转化为将军饮马模型求最值 【典例4】（2023秋•临泉县期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标是（﹣1，0），抛物线的对称轴是直线x＝1． （1）求二次函数的解析式； （2）在