2024年浙江省中考数学复习二次函数大题

2024年浙江省中考复习二次函数大题 【知识清单】 一、二次函数定义及其图象性质 1．二次函数的定义： 一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数． 2．二次函数的三种表达式： (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)． (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是常数，a≠0)，顶点坐标是(h，k)． (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a，x1，x2是常数，a≠0)，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，图象的对称轴为直线 x＝． 3．二次函数的图象与性质： 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，当a＞0时，抛物线的开口向上，这时当x≤－时，y随x的增大而减小；当x≥－时，y随x的增大而增大；当x＝－时，y有最小值．当a＜0时，抛物线开口向下，这时当x≤－时，y随x的增大而增大；当x≥－时，y随x的增大而减小；当x＝－时，y有最大值．该抛物线的对称轴是直线x＝－，顶点坐标是． 4．二次函数的图象的平移： 平移规律：左右平移由h值决定：左加右减；上下平移由k值决定：上加下减． 二、二次函数与方程的解 1.二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） （1）抛物线与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解. （2）若已知二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为，求自变量的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=. （3）二次函数与轴交点情况 对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数： ①△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； ②△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； ③△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点. 三、二次函数与不等式（组） （1）涉及一元二次不等式的，可以利用二次函数图像图象求解 b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 图象 与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点 ax2＋bx＋c>0 的解集情况 x<x1或x>x2 x≠ 取任意实数 ax2＋bx＋c<0 的解集情况 x1<x<x2 无解 无解 （2）两个函数的值的大小比较，上方图象的函数值大于下方图象的函数值. 【解题秘籍】 一、二次函数的增减性： 抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y随x的增大而增大（或减小）是不对的，必须在一定的自变量x取值范围内讨论抛物线的增减性； 二、二次函数的最值： 对于二次函数，当时，抛物线有最低点，函数有最小值，即为抛物线顶点坐标的纵坐标；当时，抛物线有最高点，函数有最大值，即为抛物线顶点坐标的纵坐标； 三、二次函数图形与系数的关系： 二次函数中，a决定抛物线的开口方向，b与a一起确定抛物线的对称轴，c决定抛物线与y轴的交点。 四、二次函数图象上点的坐标特征主要考点： 1. 点在图象上，点的特征符合其解析式 2. 和二次函数图象性质结合考察抛物线上各点纵坐标比较大小的问题 3. 和其他几何图形结合，综合考察两者的性质 五、二次函数的对称性 对称轴 在二次函数图象上 ，B（），对称轴 【习题精讲】 1. 二次函数与x轴交于两点． （1）当时，求m的值． （2）当时， ①求证：． ②点在该抛物线上，且，试比较与的大小． 2. 设二次函数（是常数，） （1）若，求该函数图象的顶点坐标. （2）若该二次函数图象经过，，三个点中的一个点，求该二次函数的表达式. （3）若二次函数图象经过，两点，当，时，，求证： 3. 在直角坐标系中，设函数（a，b，c是常数，）． （1）当时， ①若该函数图象的对称轴为直线，且过点，求该函数的表达式； ②若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求证：； （2）已知该函数的图象经过点，．若，，求a的取值范围． 4. 设二次函数（且为常数）与轴交于点，其对称轴与轴交于点． （1）求点,的坐标； （2）若，判断二次函数图象顶点位于哪个象限，并说明理由； （3）若方程（）有两个不相等实数根，且两根都在，之间（包括，），结合函数的图象，求的取值范围． 5. 已知关于x的二次函数（m，n为常数）． （1）若二次函数图象经过两点，求二次函数表达式； （2）若，试说明该函数图象与x轴必有两个不同的交点； （3）若时，函数的最大值为p，最小值为q，且，求k的值． 6. 二次函数的图象与y轴的交点为． （1）求a的值． （2）求二次函数在x轴上截得线段长的值． （3）对于任意实数k，规定：当时，关于x的函数的最小值记作