专题5 圆中的相关计算问题（解答题）【4大考点精讲】-中考高分指南之备战2024年中考数学考点总复习

【中考高分指南】数学（解答题） 【备战2024年中考·数学考点总复习】（全国通用） 专题5 圆中的相关计算问题（原卷版） 一、弧长的计算 1．半径为R的圆周长：C=πd=2πR.  2．半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长为l，则l=.  二、扇形的面积计算 1．半径为R的圆面积S= 2．半径为R的圆中,圆心角为n°的扇形面积为S扇=或S扇=.  三、圆柱与圆锥的有关计算 1．圆柱的侧面展开图是长方形,圆柱侧面积S=2πRh,全面积S=2πRh+2πR2(R表示底面圆的半径,h表示圆柱的高).  2．圆锥的侧面展开图是扇形,圆锥侧面积S=πRl,全面积S=πRl+πR2(R表示底面圆的半径,l表示圆锥的母线).  3．圆柱的体积=底面积×高,即V=Sh=πR2h. 圆锥的体积=×底面积×高,即V=πR2h.  【考点1】方法一：利用勾股定理或三角函数求线段长 【例1】（2023·宁夏模拟）如图中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点． 求证：与相切； 若，，试求的长． 1.（2023·江苏模拟） 如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点．是延长线上的一点，且． 求证：为的切线． 连接，取的中点，连接若，，求的长． 2.（2023·广东模拟） 如图，是的直径，是上一点，在的延长线上，且A. 求证：是的切线 若的半径为，，求的长． 【考点2】方法二：利用相似三角形的性质求线段长 【例1】（2023·湖北模拟）如图，已知，，为的中点，以为直径的交于点． 求证：是的切线； 若：：，，求的长． 1.（2023·河南模拟） 如图，点在的边上，与边相切于点，与边，分别交于点，，且． 求证：； 当，时，求半径的长． 2.（2023·江苏模拟） 如图， 为直径， 为上一点，点是的中点，于，于 求证： 是的切线； 若，求 的长度． 【考点3】方法二：利用等面积法求线段长 【例1】（2023·云南模拟）已知：如图，为的直径，，交于，于． 请判断与的位置关系，并证明； 连接，若的半径为，，求的长． 1.（2023·福建模拟）如图，是的内接三角形，是弦的中点，点是外一点，且，连接并延长与相交于点，与相交于点． 求证：是的切线； 若的半径为，求弦的长． 【考点4】与圆有关的阴影部分面积的计算 【例1】（2023·山东模拟） 如图，四边形中， ，，，连接，以点为圆心，长为半径作，交于点． 试判断与的位置关系，并说明理由； 若，，求图中阴影部分的面积． 【例2】（2023·广东模拟） 如图所示，是的直径，为的切线，为上的一点，，延长交的延长线于点，连接若． 求证：为的切线； 求图中阴影部分的面积． 1．解答本考点的有关题目，关键在于掌握扇形的面积公式同时注意以下要点： （1）切线的性质和判定； （2）求不规则的图形（阴影部分）的面积，可以设法转化成几个规则的图形的面积的和或者差来求. 2．计算扇形面积的有关要点 （1）求扇形阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积. （2）求扇形阴影面积常用的方法：①直接用公式法； ②和差法； ③割补法. （3）求弧长或扇形的面积问题常结合圆锥考查，解这类问题只要抓住圆锥侧面展开即为扇形，而这个扇形的弧长等于原圆锥底面的周长，扇形的半径等于原圆锥的母线长.注意不要混淆圆锥的底面半径和圆锥展开后的扇形半径两个概念. 3．方法解读： （1）和差法：所求面积的图形是一个不规则图形，可将其转化变成多个规则图形面积的和或差，进行求解. ① 直接和差法： S阴影=S△AOB-S扇形COD　　　S阴影=S半圆AB-S△AOB S阴影=S△ACB-S扇形CAD　 S阴影=S扇形BAD-S半圆AB　 S阴影=S扇形EAF-S△ADE ② 构造和差法： S阴影=S扇形AOC+S△BOC S阴影=S△ODC-S扇形DOE S阴影=S扇形AOB-S△AOB S阴影=S扇形BOE+S△OCE-S扇形COD （2）割补法：直接求面积较复杂或无法计算时,可通过旋转、平移、割补等方法,对图形进行转化,为利用公式法或和差法创造条件,从而求解. ① 全等法 S阴影=S△AOB S阴影=S扇形BOC S阴影=S矩形AC