专题4 圆中与切线有关的判定（解答题）【6大考点精讲】-中考高分指南之备战2024年中考数学考点总复习

【中考高分指南】数学（解答题） 【备战2024年中考·数学考点总复习】（全国通用） 专题4 圆中与切线有关的判定方法（原卷版） 一、切线的性质与判定 定义 当直线与圆有且仅有一个公共点时，这条直线叫做圆的切线 判定 圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 性质 经过切点的半径垂直于圆的切线 切线长定理：过圆外一点所作的圆的两条切线长相等 二、方法技巧 1. 切线的判定：常用方法→ 有切点，连半径，证垂直！ 无切点，作垂直，证半径！ ☆特别地： 题目中所需证的垂直，一般是由已知垂直转化而来的，故有“想证⊥，先找⊥” 2. 切线的性质：常用方法→见切点，连半径，得垂直！ 因切线所得结论必为⊥，故常以直角三角形来展开后续问题 【考点1】方法一：利用等角转换证垂直（直线与圆有公共点） 【连半径，证垂直】 【例1】（2023·云南模拟）如图，是的直径，点是延长线上的一点，点在上，且，． 求证：是的切线； 若的半径为，求图中阴影部分的面积． 1.（2023·湖北）如图，点、、在圆上，，直线，，点在上． 判断直线与圆的位置关系，并说明理由；若圆的半径为，求图中阴影部分的面积． 【考点2】方法二：利用平行证垂直（直线与圆有公共点） 【连半径，证垂直】 【例1】（2023·江苏）如图，四边形是的内接四边形，是直径，是的中点，过点作交的延长线于点． 求证：是的切线． 若，，求，的长． 1.（2023·广西）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作点，交延长线于点． 求证：是的切线；   若，，求的长． 【考点3】方法三：利用三角形全等证垂直（直线与圆有公共点） 【连半径，证垂直】 【例1】（2023·内蒙古）如图，以的直角边为直径作，交斜边于点，是的中点，连接，． 求证：是的切线； 若，，求的长； 求证：． 1.（2023·浙江模拟）如图，是的直径，，是的中点，连接并延长到点，使连接交于点，连接，． 求证：直线是的切线； 若，求的长； 在的条件下，连接，求的值． 2.（2023·江苏模拟）如图，是的直径，和分别切于、两点，与有公共点，且． 求证：是的切线； 若，，求的长． 【考点4】方法四：利用相似证垂直（直线与圆有公共点） 【连半径，证垂直】 【例1】（2023·江苏模拟）如图，为线段上一点，以为圆心，长为半径的交于点，点在上，连接，满足． 求证：是的切线； 若，求的值． 1.（2023·江苏模拟）如图，是的直径，是上异于点、的点．外的点在射线上，直线与垂直，垂足为，且． 求证：直线是的切线； 若，，求常数的值． 【考点5】方法四：利用等腰三角形性质证垂直（直线与圆有公共点）【连半径，证垂直】 【例1】（2023·江苏模拟）如图，已知直线经过上的点，并且，，求证：直线是的切线． 1. （2023·江苏模拟）如图，若等腰三角形中，，是底边的中点，与腰相切于点，求证：与相切． 【考点5】（直线与圆公共点未知）切线的判定 【作垂直，证半径】 【例1】（2023·宁夏模拟） 如图中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点． 求证：与相切； 若，，试求的长． 1.（2023·湖北模拟） 如图，是的平分线，是上一点，与相切于，求证：与相切． 2.（2023·江苏模拟） 如图，中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点． 求证：与相切； 若，，试求的长． 与切线有关问题常作的辅助线和解题思路 （1）连接圆心和直线与圆的公共点——证明该半径与已知直线垂直，则该直线为切线. （2）过圆心作这条直线的垂线段——证明这条垂线段