重难点01全等三角形三种模型（模型解读+典例剖析+培优争分练）-2024年中考数学【热点·重点·难点】专练（安徽专用）

重难点01全等三角形三种模型（模型解读+典例剖析+培优争分练） 模型一：一线三等角模型 模型二：手拉手模型 模型三：倍长中线模型 模型一：一线三等角模型 过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线。 过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等（AAS） 常见的两种图形： 【例1】已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是多点A的一条直线，且BD⊥AE于D，CE⊥AE于点E.当直线AE处于如图1的位置时，有BD=DE+CE,请说明理由.当直线AE处于如图2的位置时，则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由. 【变式1-1】如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B,C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E. 当DC等于多少是，△ABD≌△DCE?请证明你的结论. 【变式1-2】已知：在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,E是AC边上的点，AF⊥BE交BC于点D,如果AE=CD 证明：BF平分∠ABC 证明：AB+AE=BC 【变式1-3】如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC,∠ABC的平分线BD交AC于D，CE⊥BD的延长线于点E，求证：CE=BD.[来源:学|科|网] 模型二：手拉手模型 一、等边三角形手拉手-出全等 二、等腰直角三角形手拉手-出全等 两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有：[来源:Z#xx#k.Com] 1 △BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE； 【例2】已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连结AE,BD交于点O,AE与DC交于点0，AE与DC交于点M,BD与AC交于点N. 【变式2】已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B,点C重合）.以AD为边作等边三角形ADE,连接CE. 如图1，当点D在边BC上时，求证：△ABD≌△ACE;直接判断结论BC=DC+CE是否成立（不需要证明）； 如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC、DC、CE之间存在的数量关系，并写出证明过程. 模型三：倍长中线模型 倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用）。 三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法. 主要思路：倍长中线（线段）造全等 在△ABC中 AD是BC边中线 延长AD到E， 使DE=AD，连接BE 作CF⊥AD于F， 作BE⊥AD的延长线于E 连接BE 延长MD到N， 使DN=MD，连接CD 【例3】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD． 求证：AB=AC． 【变式3-1】.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线． （1）按要求作图：延长AD到点E，使DE=AD；连接BE． （2）求证：△ACD≌△EBD． （3）求证：AB+AC >2AD． （4）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围． 【变式3-2】.如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB=AC． 求证：①CE=2CD；②CB平分∠DCE． 【变式3-3】.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD上一点，BE=AC，BE的延长线交AC于点F． 求证：∠AEF=∠EAF． 【变式3-4】.如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，BG=CF． 求证：AD为△ABC的角平分线． （建议用时：40分钟） 一．选择题（共2小题） 1．（2023•定远县校级一模）如图所示，是的边的中点，平分，于点，且，，则的长是　　 A．12 B．14 C．16 D．18 2．（2022•包河区校级三模）如图，已知正方形的边长为4，以点为圆心，2为半径作圆，是上的任意一点，将点绕点按逆时针方向旋转，得到点，连接，则的最大值是　　 A．6 B． C． D． 二．填空题（共5小题） 3．（2022秋•南陵县期末）如图，在中，，，于点，于点，若，，则　　． 4．（2023•南谯区校级一模）如图，在矩形中，，分别为，上