8.2.2两角和与差的正弦、正切（一）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教B版2019必修第三册）

8.2.2 两角和与差的正弦、正切（1） 如果α,β两角终边的位置确定，那么α±β的终边位置也确定，进而cos(α±β)的值也确定，同时α±β的其他三角函数,如sin(α±β)也就确定. 正弦、余弦之间是可以互换的，所以可以用余弦公式cos(α±β)来推导sin(α±β)公式，怎么推导，你可以试一下吗？ 1. 类比两角和与差的余弦公式的推导过程，能推导两角和与差的正弦、正切公式；（重点） 2. 会利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数化简、求值等.（重点、难点） 探究点1：两角和与差的正弦 思考1：怎样借助的三角函数值求出,的值呢？ 追问: sin75˚=sin(30˚+45˚)=sin30˚+sin45˚成立吗? 我们已经学习了两角和与差的余弦公式，因此可以借助诱导公式转化为余弦值来求. 而 所以上式显然不成立. 思考2：一般地，怎样根据与的三角函数值求出,的值？ 公式推导： 用-β代替β 简记： 简记： 两角和与差的正弦公式： 式子左边的“” 对应右边的“” 注：1.α,β是任意角； 2.口诀：正余余正符号同. 公式应用: 思考1：请用特殊角分别代替公式中α,β，你会求哪些非特殊角的余弦值呢？ 也可 例 1.已知向量 = (3，4)，如图所示，将向量逆时针旋转45°到的位置. 求点 P´(x´，y´)的坐标. y O x P α P´ 45° 解：设∠xOP = α，则因为|OP| = = 5， 所以 cos α = ，sin α = ， 因此 x´= 5cos(α + 45°) = 5(cos αcos 45°– sin αsin 45°) = 5(× – ×) = – ； y´= 5sin(α + 45°) = 5(sin αcos 45°+ cos αsin 45°) = ； 从而 P´(– ，). 例 2.求证：sin x + cos x = sin (x + ). 解：因为 cos = ，sin = ， 所以 sin x + cos x = cos sin x + sin cos x = sin xcos + cos xsin = sin (x + ). 探究点2：辅助角公式 思考2：该如何求出 f (x) = sin x + cos x的最大值和最大值点. 由例 2 可知 f (x) = sin (x + )，因此 f (x) 的最大值为 1，且 f (x) 的最大值点 x0 满足 x0 + = + 2kπ，k∈Z，因此最大值点为 + 2kπ，k∈Z. 说法错误.因为时，;而时，. 因此，与不能同时成立. 思考1：如果函数 f (x) = sin x + cos x，判断这种说法是否正确：“因为的最大值为1，的最大值为1，所以函数 f (x)的最大值为”. 思考3：如何将sin x + cos x化为一个角的三角函数形式. 令 辅助角公式 例 6.已知函数 f (x) = sin 5x cos 5x，求 f (x) 的周期、最小值与最小值点. 解：因为 = 2， 所以 f (x) = 2(sin 5x cos 5x ) = 2[(sin 5xcos() cos 5xsin()] = 2sin (5x ). 由此可知函数 f (x) 的周期为 ，最小值为 – 2，且最小值点 x0 满足 5x0 = + 2kπ，k∈Z，因此最小值点为 + ，k∈Z. 跟踪训练：求函数 f (x) = sin x + cos x 的周期、最小值与最小值点. 解： f (x) = sin x + cos x = (sin x + cos x) = (sin xcos + cos xsin ) = sin (x + ). 由上可知函数 f (x) 的周期为 2π，最小值为，且最小值点 x0 满足 x0 + = + 2kπ，k∈Z，因此最小值点为 + 2kπ，k∈Z. 两角和与差的余弦公式及诱导公式 S α-β S α+β 以-β代β 求非特殊角正值sin15°等 赋值 给值求值及辅助角公式 α,β为任意角 $$