2024年中考数学二轮复习之几何模型14：加权求线段和最值问题（一）

冲刺中考 中考提优几何模型十四求加权线段和最值问题（一） 模型1;用胡不归模型 求加权线段和最值 几何专题十四：求加权线段和最值问题（一） 模型1：运用“胡不归”模型求解加权线段和问题 从前，有一个小伙子在外地当学徒，当他得知在家乡的年老父亲病危的消息后，便立即启程日夜赶路。由于思念心切，他选择了全是沙砾地带的直线路径A--B（如图所示：A是出发地，B是目的地，AC是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧全是沙砾地带），当他赶到父亲眼前时，老人已去世了，邻舍告诉小伙子时告诉说，老人在弥留之际还不断喃喃地叨念：胡不归?胡不归？ 一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小． ，记，即求BC+kAC的最小值． 构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC． 将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型． 【典型例题】 【例1】如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于 . 【例2】如图，△ABC中，AB=AC=10，，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则的最小值是 . 【例3】如图，△ABC在直角坐标系中，AB=AC，，，D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（ ） A. B. C. D. 作业训练 1.如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，边长为3，P是对角线BD上的一个动点，则的最小值是（ ） A. B. C.3 D. 2.如图，在△ABC中，∠A＝15°，AB＝2，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，则AP+PB的最小值是（　　） A． B． C． D．2 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，点D、F分别是边AB，BC上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF+FB的最小值是（　　） A． B． C． D． 4.如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上.设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当AB=8时，则的最小值为 . 5.如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝3，CD⊥AB于点D，点E是线段CD的一个动点，则BE+CE的最小值是　 　． 6.如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为　 　． 6.如图，抛物线与轴交于A，B两点，过点B的直线交抛物线于E，且，若有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是 . 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝6，△BCD为等边三角形点E为△BCD围成的区域（包括各边）的一点过点E作EM∥AB，交直线AC于点M作EN∥AC交直线AB于点N，则AN+AM的最大值为　 　． 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值为　 　． 9.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点A（-1,0）、B（0，-）、C（2,0），其对称轴于轴交于点D. （1）求二次函数的表达式及其顶点坐标。 （2）若P为轴上的一动点，连接PD，则的最小值为 . 10.如图，抛物线与直线交于A、B两点，交轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0,3），C（3,0）. （1）求抛物线的解析式；（2）求的值； （3）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？ 11.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△