课时达标检测(33) 三角恒等变换与三角函数、解三角形的综合-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修(第二册)（北师大版）

课时达标检测(三十三)　三角恒等变换与三角函数、解三角形的综合 基础达标 　 一、单项选择题 1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c。若a=6,c=4,sin=,则b= (　　) A.9 B.36 C.6 D.6 解析　因为sin=,所以cos B=1-2sin2=1-2×2=。由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=62+42-2×6×4×=36,解得b=6。故选D。 答案　D 2.在△ABC中,cos2=(a,b,c分别为内角A,B,C的对边),则△ABC的形状为 (　　) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 解析　因为cos2=,所以2cos2=,所以1+cos B=,即1+=,整理得a2+b2=c2,所以△ABC为直角三角形。故选B。 答案　B 3.函数f(x)=sin2x+sin xcos x在区间,上的最大值是 (　　) A.1 B. C. D.1+ 解析　f(x)=+sin 2x=sin 2x-cos 2x+=sin2x-+。因为≤x≤,所以≤2x-≤。所以f(x)max=1+=。 答案　C 4.函数y=cos2x-+sin2x+-1 (　　) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数 解析　y=+-1=cos2x--cos2x+=sin 2x,是奇函数。 答案　A 5.已知在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且a=4,b+c=5,tan B+tan C+=tan Btan C,则△ABC的面积为 (　　) A. B.3 C. D. 解析　因为tan B+tan C+=tan Btan C,所以=-,所以tan(B+C)=-,所以tan A=,因为A∈(0,π),所以A=。在△ABC中,由a2=b2+c2-2bccos A,可得16=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,所以bc=3。所以S△ABC=×3×sin=。故选C。 答案　C 二、多项选择题 6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(,-1),n=(cos A,sin A),若m⊥n,且acos B+bcos A=csin C,则 (　　) A.A= B.C= C.B= D.C= 解析　因为m⊥n,所以cos A-sin A=0,所以tan A=,因为A∈(0,π),所以A=。由正弦定理,得sin Acos B+sin Bcos A=sin2C,所以sin(A+B)=sin2C,所以sin C=sin2C。因为0<C<π,所以sin C≠0,所以sin C=1,所以C=,B=。 答案　ACD 7.已知函数f(x)=2sin2x++sin2x+-1,则下列判断不正确的是 (　　) A.f(x)的图象关于x=对称 B.f(x)为奇函数 C.f(x)的值域为[-3,1] D.f(x)在0,上是增函数 解析　f(x)=2sin2x++sin2x+-1=sin2x+-cos2x+=2sin2x+,当x=时,函数取得最大值2,所以f(x)的图象关于x=对称,故A正确。易得f(x)为非奇非偶函数,其值域为[-2,2],故B、C错误。当x∈0,时,2x+∈,,此时f(x)不单调,故D错误。故选BCD。 答案　BCD 三、填空题 8.函数f(x)=sin2x+-3cos x的最小值为　　　　。  解析　f(x)=sin2x+-3cos x=-cos 2x-3cos x=-2cos2x-3cos x+1=-2cos x+2+。因为-1≤cos x≤1,所以当cos x=1时,f(x)min=-4,故函数f(x)的最小值是-4。 答案　-4 9.已知函数f(x)=(1+tan x)cos x,则函数f(x)的图象的一条对称轴方程是　　　　。  解析　f(x)=(1+tan x)·cos x=·cos x=cos x+sin x=2sin。由x+=kπ+(k∈Z)得x=kπ+(k∈Z),故函数f(x)的图象的对称轴方程为x=kπ+(k∈Z)。 答案　x=只要符合x=kπ+,k∈Z即可,不唯一 10.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若C=2B,则的取值范围为　　　　。  解析　因为A+B+C=π,C=2B,所以A=π-3B>0,所以0<B<,所以<cos B<1。因为===2cos B,所以1<2cos B<2,故1<<2。 答案　(1,2) 四、解答题 11.在△ABC中,BC=,AC=3,sin C=2sin A。 (1)求AB的值; (2)求sin的值。 解　(1)在△ABC中,由正弦定理得AB=·BC=2BC=2。 (2)在△ABC中,根据余弦定理的推论,得cos A==,所以sin A==,所以