课时达标检测(31) 积化和差与和差化积公式-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修(第二册)（北师大版）

课时达标检测(三十一)　积化和差与和差化积公式 基础达标 　 一、单项选择题 1.sin 20°+cos 10°可化简为 (　　) A.sin 50° B.cos 50° C.sin 50° D.cos 50° 解析　sin 20°+cos 10°=sin 20°+sin 80°=2sin 50°·cos(-30°)=sin 50°。 答案　C 2.sin 37.5°cos 7.5°的值为 (　　) A. B. C. D. 解析　sin 37.5°cos 7.5°=(sin 45°+sin 30°)=。 答案　C 3.计算= (　　) A. B. C.2 D.4 解析　原式===2,故选C。 答案　C 4.若sin α+sin β=,cos α+cos β=,则tan的值为 (　　) A.2 B. C.-2 D.- 解析　由已知得2sincos=,2cos·cos=,两式相除得tan==2。 答案　A 5.函数f(x)=sinx+cosx-是 (　　) A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为2π的非奇非偶函数 D.最小正周期为π的非奇非偶函数 解析　f(x)=sin2x++sin=sin2x++1=sin2x++。故最小正周期T==π,f(x)为非奇非偶函数。 答案　D 二、多项选择题 6.下列关系式中错误的是 (　　) A.sin 5θ+sin 3θ=2sin 8θcos 2θ B.cos 3θ-cos 5θ=-2sin 4θsin θ C.sin 3θ-sin 5θ=-cos 4θcos θ D.sin xsin y=[cos(x-y)-cos(x+y)] 解析　根据和差化积公式可知ABC都错;根据积化和差公式可知,D正确。故选ABC。 答案　ABC 7.函数f(x)=sinx+-cos-x的图象的对称轴方程不可能为 (　　) A.x=- B.x= C.x= D.x= 解析　f(x)=sinx+-cos-x=sinx+-sinx-=2cos·sin=cosx+,令x+=kπ,k∈Z,得x=kπ-,k∈Z,所以其图象的对称轴方程为x=kπ-(k∈Z),因此x=和x=不可能是其图象的对称轴。 答案　CD 三、填空题 8.化简sin α·sin(60°+α)·sin(60°-α)=　　　　。  解析　原式=sin α·[-cos(60°+α+60°-α)+cos(60°+α-60°+α)]=sin α·+cos 2α=sin α+sin αcos 2α=sin α+·[sin 3α+sin(-α)]=sin 3α。 答案　sin 3α 9.cos+cos+cos=　　　　。  解析　原式====-。 答案　- 10.在△ABC中,若B=30°,则cos Asin C的取值范围是　　　　。  解析　由于B=30°,所以A+C=150°,因此cos A·sin C=[sin(A+C)-sin(A-C)]=sin 150°-sin(A-C)=-sin(A-C),由A+C=150°,得0°<A<150°,0°<C<150°,因此-150°<A-C<150°,于是-1≤sin(A-C)≤1,-≤-sin(A-C)≤,故cos Asin C的取值范围是-,。 答案　-, 四、解答题 11.求下列各式的值: (1)sin 105°cos 75°; (2)2coscos+cos+cos; (3)cos+cos-2sincos。 解　(1)sin 105°cos 75°=[sin(105°+75°)+sin(105°-75°)]=(sin 180°+sin 30°)=。 (2)2coscos+cos+cos=cos++cos-+cos+cos=cos+cos+cos+cos=cos+cos+cosπ-+cosπ-=cos+cos-cos-cos=0。 (3)cos+cos-2sincos=2cos·cos-cos=2coscos-cos=cos-cos=0。 12.证明下列恒等式: (1)=tan; (2)=。 证明　(1)左边=====tan=右边。所以原等式成立。 (2)左边= ====右边。所以原等式成立。 素养升级 13.函数y=sin2x++sin2x-在0,上的最小值为 (　　) A.- B.0 C.-1 D.- 解析　y=sin2x++sin2x-=2sincos=2sin 2x·cos=sin 2x,由于x∈0,,所以2x∈0,,故函数在0,上的最小值为0。 答案　B 14.若(sin α+sin β)=cos α-cos β,且α,β∈(0,π),则α-β的值等于 (　　) A. B.- C. D.- 解析　由已知得2sincos=-2sin·sin,由于α,β∈(0,π),所以∈(0