课时达标检测(30) 三角函数的叠加及其应用-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修(第二册)（北师大版）

课时达标检测(三十)　三角函数的叠加及其应用 基础达标 　 一、单项选择题 1.化简cos x+sin x等于 (　　) A.2cos-x B.2cos-x C.2cos+x D.2cos+x 解析　cos x+sin x=2cos x+sin x=2cos cos x+sinsin x=2cos-x。 答案　B 2.已知sin+α=,则cos α+sin α的值为(　　) A.-　　　B.　　　C.2　　　D.-1 解析　因为sin+α=,所以cos α+sin α=2cos α+sin α=2sin+α=2×=。 答案　B 3.若函数f(x)=(1+tan x)cos x,则f=(　　) A. B.- C.1 D. 解析　因为f(x)=1+·cos x=cos x+sin x=2cos x+sin x=2sinx+,所以f=2sin+=2sin=。 答案　D 4.函数f(x)=sin x+2cos x的最大值为 (　　) A.5 B. C.3 D.1 解析　f(x)=sin x+2cos x=·sin(x+φ)=sin(x+φ)cos φ=,sin φ=,故其最大值为。 答案　B 5.若sin x-cos x=4-m,则实数m的取值范围是 (　　) A.2≤m≤6 B.-6≤m≤6 C.2<m<6 D.2≤m≤4 解析　若sin x-cos x=4-m,则2sinx-=4-m,所以-2≤4-m≤2,解得2≤m≤6,故选A。 答案　A 二、多项选择题 6.若sin x+cos x=cos(x+φ),则φ的一个可能值是 (　　) A.- B.- C.π D. 解析　sin x+cos x=sinsin x+coscos x=cosx-=cosx+π,所以φ可以为-,也可以为π。故选AC。 答案　AC 7.设函数f(x)=sin2x++cos2x+,则f(x) (　　) A.是偶函数 B.在区间0,上单调递增 C.最大值为2 D.其图象关于点,0对称 解析　因为f(x)=sin2x++cos2x+=sin2x++=cos 2x,所以f(-x)=cos(-2x)=cos 2x=f(x),因此f(x)是偶函数,A正确。因为x∈0,,所以2x∈(0,π),因此f(x)在0,上单调递减,B错误。f(x)=cos 2x的最大值为,C错误。函数f(x)的图象的对称中心为+,0,k∈Z,当k=0时,函数图象关于点,0对称,D正确。故选AD。 答案　AD 三、填空题 8.计算sin-cos的值为　　　　。  解析　sin-cos=2sin-cos=2sinsin-coscos=-2cos+=-2cos=-。 答案　- 9.设a=2cos 66°,b=cos 5°-sin 5°,c=2(sin 47°sin 66°-sin 24°sin 43°),则a,b,c的大小关系是　　　　。(用“>”连接)  解析　因为b=2(cos 60°cos 5°-sin 60°sin 5°)=2cos 65°,c=2(cos 43°cos 24°-sin 24°sin 43°)=2cos 67°,函数y=2cos x(0°<x<90°)单调递减,所以b>a>c。 答案　b>a>c 10.已知向量a=(sin α,1),b=(3,3cos α-),若a⊥b,则cosα+等于　　　　。  解析　由a⊥b得a·b=0,即3sin α+3cos α-=0,因此sin α+cos α=,即cosα-=,于是cosα-=,故cosα+=。 答案　 四、解答题 11.将下列各式化为y=Asin(ωx+φ)的形式: (1)y=3sin x-cos x; (2)y=sin++sin。 解　(1)y=3sin x-cos x=2sin x·-cos x·=2sin xcos-cos xsin=2sinx-。 (2)y=sin++sin=sincos+cossin+sin=sin+cos=sin·+cos·=sin+。 12.已知函数f(x)=2sin x-2cos x。 (1)求函数f(x)在区间[0,π]上的值域; (2)设α∈0,,f(α)=1,求sin α的值。 解　(1)f(x)=2sin x-2cos x=4sin x-cos x=4sin xcos-cos xsin=4sinx-,当x∈[0,π]时,可得-≤x-≤,所以-≤sinx-≤1,所以-2≤f(x)=4sinx-≤4,即函数f(x)在区间[0,π]上的值域为[-2,4]。 (2)因为f(α)=1,所以4sinα-=1,即sinα-=,因为α∈0,,所以-<α-<,所以cosα-=,所以sin α=sinα-+=sinα-cos+cosα-sin=×+×=。 素养升级 13.若将函数f(x)=sin 2x