课时达标检测(27) 同角三角函数的基本关系-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修(第二册)（北师大版）

课时达标检测(二十七)　同角三角函数的基本关系 基础达标 　 一、单项选择题 1.若cos α=,则(1+sin α)(1-sin α)等于 (　　) A. B. C. D. 解析　原式=1-sin2α=cos2α=。故选B。 答案　B 2.已知α是第三象限角,且sin α=-,则3cos α+4tan α= (　　) A.- B. C.- D. 解析　因为α是第三象限角,且sin α=-,所以cos α=-=-=-,所以tan α===,所以3cos α+4tan α=-2+=-。 答案　A 3.已知tan α=-,则的值是 (　　) A. B.3 C.- D.-3 解析　因为tan α=-,所以===。 答案　A 4.cos2x等于 (　　) A.tan x B.sin x C.cos x D. 解析　原式=·cos2x=·cos2x=·cos2x==。 答案　D 5.化简sin2α+cos4α+sin2αcos2α的结果是 (　　) A. B. C.1 D. 解析　原式=sin2α+cos2α(cos2α+sin2α)=sin2α+cos2α=1。 答案　C 二、多项选择题 6.若α是第二象限角,则下列各式中成立的是 (　　) A.tan α=- B.=sin α-cos α C.cos α=- D.=sin α+cos α 解析　对于A,由同角三角函数的基本关系式,知tan α=,所以A错;对于B,C,D,因为α是第二象限角,所以sin α>0,cos α<0,所以sin α-cos α>0,sin α+cos α的符号不确定,所以==sin α-cos α,所以B,C正确;D错。故选BC。 答案　BC 7.已知θ∈(0,π),sin θ+cos θ=,则下列结论正确的是 (　　) A.θ∈,π B.cos θ=- C.tan θ=- D.sin θ-cos θ= 解析　因为sin θ+cos θ=　①,所以(sin θ+cos θ)2=,即sin2θ+2sin θcos θ+cos2θ=,所以2sin θ·cos θ=-,因为θ∈(0,π),所以sin θ>0,cos θ<0,所以θ∈,π,所以(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=,所以sin θ-cos θ=　②,①+②得sin θ=,①-②得cos θ=-,所以tan θ===-。综上可得,正确的有A,B,D。故选ABD。 答案　ABD 三、填空题 8.已知=,则tan α=　　　　。  解析　由=,得=,解得tan α=-。 答案　- 9.化简的结果是　　　　。  解析　====|cos 20°|=cos 20°。 答案　cos 20° 10.已知sin α-cos α=(0<α<π),则sin α=　　　　;tan α=　　　　。  解析　由题意可得解得sin α=,cos α=-,则tan α==-1。 答案　　-1 四、解答题 11.化简下列各式: (1); (2)。 解　(1)原式= ====1。 (2)原式===cos θ。 12.求证:=。 证明　右边=======左边。所以原等式成立。 素养升级 13.如果tan θ=2,那么1+sin θcos θ= (　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 解析　1+sin θcos θ===,又tan θ=2,所以1+sin θcos θ==。 答案　B 14.已知θ是第三象限角,且sin4θ+cos4θ=,则sin θcos θ的值为 (　　) A. B.- C. D.- 解析　由sin4θ+cos4θ=,得(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=,所以sin2θcos2θ=。因为θ是第三象限角,所以sin θ<0,cos θ<0,所以sin θcos θ=。 答案　A 15.设α是第三象限角,问是否存在实数m,使得sin α,cos α是关于x的方程8x2+6mx+2m+1=0的两个根?若存在,求出实数m;若不存在,请说明理由。 解　假设存在实数m满足条件,由题设得,Δ=36m2-32(2m+1)≥0　①,因为sin α<0,cos α<0,所以sin α+cos α=-m<0　②,sin αcos α=>0　③。又sin2α+cos2α=1,所以(sin α+cos α)2-2sin αcos α=1。把②③代入上式得-2×=1,即9m2-8m-20=0,解得m1=2,m2=-。因为m1=2不满足条件①,舍去;因为m2=-不满足条件③,舍去。故满足题意的实数m不存在。 学科网（北京）股份有限公司 $$