4.2.4 积化和差与和差化积公式-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修(第二册)（北师大版）

2.4　积化和差与和差化积公式 　　在讨论三角函数的一些问题过程中,有时需要把三角函数的积化成和或者差,有时又需要把和或者差化成积的形式。如何推导积化和差公式及和差化积公式? 了解积化和差与和差化积公式及其应用。 积化和差与和差化积公式 (1)积化和差公式 cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]; sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)]; sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)]; cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)]。 (2)和差化积公式 sin x+sin y=2sincos; sin x-sin y=2cossin; cos x+cos y=2coscos; cos x-cos y=-2sinsin。 　 类型一　利用公式化简、求值 　　【例1】　求下列各式的值: (1)sin 20°sin 40°sin 80°; (2)cos 146°+cos 94°+2cos 47°cos 73°。 解　(1)sin 20°sin 40°sin 80°=-[cos(20°+40°)-cos(20°-40°)]sin 80°=cos 20°-cos 10°=cos 20°cos 10°-cos 10°=×[cos(20°+10°)+cos(20°-10°)]-cos 10°=+cos 10°-cos 10°=。 (2)cos 146°+cos 94°+2cos 47°cos 73°=2cos 120°·cos 26°+2×(cos 120°+cos 26°)=2×-×cos 26°+-+cos 26°=-cos 26°+-+cos 26°=-。 　　和差化积公式的适用条件:只有系数绝对值相同的同名函数的和与差,才能直接运用公式化成积的形式。若一个正弦与一个余弦的和或差,则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式 【变式训练】　(1)sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°的值为 (　　) A.- B. C. D.- 解析　sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°=[sin(20°+70°)+sin(20°-70°)]+[cos(10°-50°)-cos(10°+50°)]=(sin 90°-sin 50°)+(cos 40°-cos 60°)=-sin 50°+cos 40°=-sin 50°+sin 50°=。故选B。 答案　B (2)若cos xcos y+sin xsin y=,sin 2x+sin 2y=,则sin(x+y)=　　　　。  解析　由cos xcos y+sin xsin y=,得cos(x-y)=。又sin 2x+sin 2y=2sin(x+y)cos(x-y)=,所以sin(x+y)=。 答案　 类型二　利用公式研究函数性质 　　【例2】　(1)函数f(x)=4sin xsin-x的最大值是 (　　) A.1 B.3 C.-1 D.2 解析　f(x)=4sin xsin-x=4×-cosx+-x-cosx-+x=-2cos-cos2x-=2cos2x--1,故函数的最大值为1。 答案　A (2)函数y=的最小正周期为　　　　。  解析　由于y===tan2x+,故函数的最小正周期T=。 答案　 　　利用积化和差与和差化积公式可将三角函数式化为f(x)=Asin(ωx+φ)的形式,然后再研究函数的性质 【变式训练】　函数f(x)=sinx+cos x的最小正周期为　　　　。  解析　f(x)=sinx+cos x=sin2x++sin=sin2x++,所以由T==π,知函数f(x)的最小正周期为π。 答案　π 　 1.(多选)下列各式中正确的是 (　　) A.sin α+sin β=2sincos B.cos α+cos β=2coscos C.sin α-sin β=2cossin D.cos α-cos β=2sinsin 解析　由和差化积公式可知ABD均正确,sin α-sin β=2cossin,故C不正确。 答案　ABD 2.sin+αcos+β化成和差的形式为(　　) A.sin(α+β)+sin(α-β) B.cos(α+β)+sin(α-β) C.sin(α+β)+cos(α-β) D.cos(α+β)+cos(α-β) 解析　sin+αcos+β=sin+α++β+sin+α--β=sin+α+β+sin(α-β)=cos(α+β)+sin(α-β)。 答案　B 3.函数y=cos xcosx-的最小正周期为 (　　) A.4π　　　B.2π　　　C.π　　　D. 解析　y=cos xcosx-=cosx+x-+cosx-x+=cos2x-+,故函数的最小