4.2.3 三角函数的叠加及其应用-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修(第二册)（北师大版）

2.3　三角函数的叠加及其应用 　　在物理学中,几个振幅和初相不同但频率相同的正弦波之和,总是等于另一个具有相同频率的正弦波。那么如何求得这个叠加之后的正弦波的振幅和初相呢? 掌握三角函数的叠加及其应用。 　 类型一　利用三角函数的叠加化简求值 　　【例1】　(1)cos α+sin α化简为 (　　) A.2sin+α B.2sin+α C.sin+α D.sin+α 解析　依题意,原式=2sin α+cos α=2sin α·cos+cos αsin=2sinα+=2sin+α。故选B。 答案　B (2)计算:cos+sin= (　　) A.0 B.- C. D.2 解析　原式=2×cos+sin=2coscos+sinsin=2cos=2cos-=2coscos+sinsin=2×=。故选C。 答案　C 　　形如asin x+bcos x(a,b不同时为零)的式子可化为sin(x+φ)其中cos φ=,sin φ=或cos(x-φ)其中sin φ=,cos φ=的形式。常见形式有sin x±cos x=sinx±,sin x±cos x=2sinx± 【变式训练】　已知5sin x+5cos x=6,sin y+cos y=1,且x∈0,,y∈,,求cos(x+y)的值。 解　由5sin x+5cos x=6,得10sin x+cos x=6,所以sinx+=。由sin y+cos y=1,得2sin y+cos y=1,所以siny+=。因为x∈0,,y∈,,所以x+∈,,y+∈,。所以cosx+=,cosy+=-。所以cos(x+y)=sin+(x+y)=sin+x+y+=sin+xcosy++cos+xsiny+=×-+×=。 类型二　通过三角函数的叠加研究三角函数的性质 　　【例2】　已知函数f(x)=asin x+bcos x。 (1)当f=,且f(x)的最大值为时,求a,b的值。 (2)当f=1,且f(x)的最小值为k时,求k的取值范围。 解　(1)因为f(x)=asin x+bcos x=sin(x+φ),f=asin+bcos=(a+b)=,所以a+b=2,又f(x)的最大值为,即=。所以解得或 (2)f=asin+bcos=a+=1。所以b=2-a。由f(x)=asin x+bcos x=sin(x+φ),可得f(x)min=-=k。即k=-,所以当a=时,k有最大值为-1。所以k≤-1。 　　公式asin x+bcos x=sin(x+θ)主要用来将几个一次的三角函数式化为一个三角函数f(x)=Asin(x+φ)的形式,从而依照正弦函数的性质可以进行其函数性质的研究 【变式训练】　(1)若函数f(x)=sin 2x+acos 2x的图象关于直线x=对称,则a的值为　　　　。  解析　f(x)=sin 2x+acos 2x=sin(2x+φ)。因为函数f(x)的图象关于直线x=对称,所以由三角函数的图象可知f=±,即+a=±,解得a=1。 答案　1 (2)已知函数f(x)=sin x-acos x(x∈R)的图象经过点,1。 ①求函数f(x)的解析式; ②求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间。 解　①由函数f(x)的图象经过点,1, 得sin-acos=1,解得a=1。 因此f(x)=sin x-cos x。 ②f(x)=sin x-cos x=2sin x-cos x=2sinx-。 所以函数f(x)的最小正周期T=2π。 令2kπ+≤x-≤2kπ+(k∈Z),可得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z)。 因此函数f(x)的单调递减区间为2kπ+,2kπ+(k∈Z)。 　 1.已知sin 63°≈0.891,则(cos 72°+cos 18°)的近似值为 (　　) A.1.773 B.1.782 C.1.796 D.1.815 解析　(cos 72°+cos 18°)=(sin 18°+cos 18°)=2sin(18°+45°)=2sin 63°≈2×0.891=1.782。故选B。 答案　B 2.为了得到函数y=sin 3x+cos 3x的图象,可以将函数y=cos 3x的图象 (　　) A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 解析　因为y=sin 3x+cos 3x=cos3x-=cos 3x-,所以将y=cos 3x的图象向右平移个单位长度后可得到y=cos3x-的图象。 答案　A 3.sin 15°+sin 75°的值是　　　　。  解析　sin 15°+sin 75°=sin 15°+cos 15°=sin 15°+cos 15°=(sin 15°cos 45°+cos 15°sin 45°)=sin(15°+45°)=