4.2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修(第二册)（北师大版）

2.2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用 　　乔布斯描述苹果电脑是“思想的自行车”——一种能够使人们的思想达到想象中任何角落的工具,并且功能多样,他用类比介绍了这一引领信息时代的创新发明。我们一旦开始给予类比密切的关注,就会发现它在生活中随处可见,类比可以推动创新。你能类比由cos(α-β)推导cos(α+β)的方法推导两角和与差的正弦公式吗? 能从两角和与差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、正切公式,了解它们的内在联系。 1.两角和与差的正弦公式 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β。(Sα+β)  sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β。(Sα-β)  2.两角和与差的正切公式 tan(α+β)=。(Tα+β) tan(α-β)=。(Tα-β) 公式Sα+β,Cα+β,Tα+β通常都叫作和角公式,而公式Sα-β,Cα-β,Tα-β通常都叫作差角公式。 微提醒 注意公式的结构特征和符号规律:对于公式Cα-β,Cα+β可记为“同名相乘,符号反”;对于公式Sα-β,Sα+β可记为“异名相乘,符号同”。 微思考 1.sin(α+β)=sin α+sin β能否成立?若成立,在什么情况下成立? 提示:因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,所以一般情况下sin(α+β)=sin α+sin β不成立,但是当α=2kπ或β=2kπ或α=β=kπ,k∈Z时成立。 2.两角和与差的正切公式对任意α,β均成立吗? 提示:不是的。在两角和的正切公式中,使用条件是:α,β,α+β≠kπ+(k∈Z);在两角差的正切公式中,使用条件是:α,β,α-β≠kπ+(k∈Z)。 　 类型一　公式的直接运用 　　【例1】　已知cos α=,α∈(0,π),tan(α-β)=,求下列各式的值。 (1)sin; (2)tan β的值。 解　因为cos α=>0,α∈(0,π),所以sin α>0。所以sin α===, (1)sin=sin αcos+cos αsin==。 (2)tan α===。所以tan β=tan [α-(α-β)]===。 　　解给值(式)求值的策略:(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式。(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角” 【变式训练】　(1)若cos α=,且α∈,则sin=　　　　。  解析　由α∈,cos α=,得sin α>0,且sin α===,所以sinα+=sin α·cos+cos αsin=×+×=。 答案　 (2)已知sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=,β是第三象限角,则sin的值是　　　　。  解析　因为sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=sin [(α-β)-α]=sin(-β)=,所以sin β=-。又因为β是第三象限角,所以cos β=-,所以sinβ+=sin βcos+cos βsin=-×--×=。 答案　 (3)已知tan(α+β)=,tan=,则tan的值为　　　　。  解析　由两角差的正切公式有tan=tan (α+β)-===。 答案　 类型二　三角公式的逆用及变形用 　　【例2】　计算: (1); (2)sin-cos; (3)tan+tan+tantan。 解　(1)=tan(74°+76°)=tan 150°=-。 (2)sin-cos=2sin-cos=2sin=2sin=-。 (3)tan+tan+tantan=tan+tantan=1-tantan+tantan=。 　　(1)在逆用两角和与差的正弦、余弦、正切公式时,首先要注意结构是否符合公式特点,其次注意角是否满足要求。(2)注意特殊角的应用,当式子中出现,1,,,…这些数值时,一定要考虑引入特殊角,把“值变角”,构造适合公式的形式。(3)注意公式的变形应用 【变式训练1】　(公式逆用)计算: (1)sin 40°cos 10°-sin 130°sin 10°; (2); (3)(tan 10°-)×。 解　(1)sin 40°cos 10°-sin 130°sin 10°=sin 40°cos 10°-cos 40°sin 10°=sin(40°-10°)=sin 30°=。 (2)==tan(60°-15°)=tan 45°=1。 (3)原式=(tan 10°-tan 60°)×=-×=×=-2。 【变式训练2】　(公式变形用)计算:(1+tan 21°)(1+tan 22°)(1+tan 23°)(1+tan 24°