4.2.1 两角和与差的余弦公式及其应用-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修(第二册)（北师大版）

§2　两角和与差的三角函数公式 2.1　两角和与差的余弦公式及其应用 　　很多同学认为两角差的余弦cos(α-β)=cos α-cos β,那么这个结论正确吗?让我们做一个试验:cos(60°-30°)与cos 60°-cos 30°的值作比较,cos(60°-30°)=cos 30°=,cos 60°-cos 30°=-,显然,cos(60°-30°)≠cos 60°-cos 30°,由此可得cos(α-β)=cos α-cos β不一定成立。如何用α,β的正、余弦值表示cos(α±β)呢? 经历推导两角差的余弦公式的过程,能由两角差的余弦公式推导两角和的余弦公式。 两角和与差的余弦公式 cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β。(Cα+β)  cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β。(Cα-β)  微提醒 两角和与差的余弦公式记忆口诀:余余正正,符号异。(1)符号异:即等号两边的“+”与“-”正好相反;(2)余余、正正:即余弦乘余弦、正弦乘正弦。 微思考 公式中的角α,β可以为几个角的组合吗? 提示:可以。公式中α,β都是任意角,可以是一个角,也可以是几个角的组合。 　 类型一　给角求值 　　【例1】　求下列各式的值: (1)cos(-375°); (2)cos 75°cos 15°+sin 75°sin 195°; (3)cos(α+45°)cos α+sin(α+45°)sin α; (4)cos 15°+sin 15°。 解　(1)cos(-375°)=cos 375°=cos 15°=cos(45°-30°)=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°=×+×=。 (2)cos 75°cos 15°+sin 75°sin 195°=cos 75°cos 15°-sin 75°sin 15°=cos(75°+15°)=cos 90°=0。 (3)cos(α+45°)cos α+sin(α+45°)sin α=cos [(α+45°)-α]=cos 45°=。 (4)cos 15°+sin 15°=cos 60°cos 15°+sin 60°·sin 15°=cos(60°-15°)=cos 45°=。 　　利用公式Cα+β、Cα-β求值的方法技巧:在利用两角和与差的余弦公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时,要先把非特殊角转化为特殊角的差(或同一个非特殊角与特殊角的差),利用公式直接化简求值,在转化过程中,充分利用诱导公式,构造出两角差的余弦公式的结构形式,正确地顺用公式或逆用公式求值 【变式训练】　求值: (1)sin 17°sin 223°+sin 253°sin 313°; (2)cos(θ+70°)cos(θ+10°)+sin(θ+70°)sin(θ+10°)。 解　(1)原式=-sin 17°sin 43°+cos 17°cos 43°=cos(17°+43°)=cos 60°=。 (2)cos(θ+70°)cos(θ+10°)+sin(θ+70°)sin(θ+10°)=cos [(θ+70°)-(θ+10°)]=cos 60°=。 类型二　给值求值 　　【例2】　(1)已知sin α-sin β=1-,cos α-cos β=,则cos(α-β)= (　　) A.-　　　B.- 　C.　　　D. 解析　因为sin α-sin β=1-,所以sin2α-2sin α·sin β+sin2β=1-2　①,因为cos α-cos β=,所以cos2α-2cos αcos β+cos2β=2　②。①,②两式相加得1-2cos(α-β)+1=1-++,所以-2cos(α-β)=-,所以cos(α-β)=。 答案　D (2)已知sin+α=,α∈,,求cos α的值。 解　因为α∈,,所以+α∈,π,所以cos+α=-=-=-。因为α=+α-,所以cos α=cos+α-=cos+αcos+sin+α·sin=-×+×=。 　　给值求值问题的解题策略:(1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值时,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,即拆角与凑角。(2)由于和、差角与单角是相对的,因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角。常见角的变换有:①α=(α-β)+β;②α=+;③2α=(α+β)+(α-β);④2β=(α+β)-(α-β) 【变式训练】　(1)已知sinα+=,且<α<,则cos α=　　　　。  解析　因为sinα+=,且<α<,则<α+<π,所以cosα+=-=-,所以cos α=cosα+-=cosα+cos+sinα+sin=-×+×=。 答案　 (2)已知sin-α=-,α∈,,则cosα-=　　　　。