4.1 同角三角函数的基本关系-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修(第二册)（北师大版）

第四章　　三角恒等变换 §1　同角三角函数的基本关系 　　 因为三个三角函数值都是由角的终边与单位圆交点所唯一确定的,所以终边相同的角的三个三角函数值一定有内在联系。我们不妨讨论同一个角的三个三角函数值之间的关系。如图,设点P(x,y)是角α的终边与单位圆的交点。你能根据图形推导同角三角函数的关系式吗? 1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2α+cos2α=1,=tan α。 2.会根据同角三角函数的基本关系式解决已知一个角的某个三角函数值求其余两个三角函数值(简称“知一求二”)及简单的三角恒等式的证明问题、化简问题。 同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系式:sin2α+cos2α=1(α∈R)。 (2)商数关系式:tan α=(α≠kπ+,k∈Z)。  (3)公式的常见变形: sin2α=1-cos2α; cos2α=1-sin2α; sin α=±; cos α=±; (sin α+cos α)2=1+2sin αcos α; (sin α-cos α)2=1-2sin αcos α; cos αtan α=sin αα≠kπ+,k∈Z。 微提醒 (1)注意“同角”,这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立,即与角的表达形式无关,如sin23α+cos23α=1成立,但是sin2α+cos2β=1就不一定成立。(2)sin2α是(sin α)2的简写,读作“sin α的平方”,不能将sin2α写成sin α2,前者是α的正弦的平方,后者是α2的正弦,两者是不同的,要弄清它们的区别,并能正确书写。 　 类型一　直接运用同角三角函数的基本关系求值 　　【例1】　(1)已知cos α=-,求sin α,tan α的值。 (2)已知α∈,tan α=2,求cos α的值。 解　(1)因为cos α=-<0,且cos α≠-1,所以α是第二或第三象限的角。如果α是第二象限角,那么sin α===,tan α===-。如果α是第三象限角,同理可得sin α=-=-,tan α=。 (2)由已知得由①得sin α=2cos α,代入②得4cos2α+cos2α=1,所以cos2α=,又α∈,所以cos α<0,所以cos α=-。 　　利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法:(1)已知角α的某一种三角函数值,求角α的其余三角函数值,要注意基本关系式的合理选择,一般是先选用平方关系,再用商数关系。(2)若角α所在的象限已经确定,求另两种三角函数值时,只有一组结果;若角α所在的象限不确定,应分类讨论,一般有两组结果。 提醒:应用平方关系求三角函数值时,要注意有关角终边位置的判断,确定所求值的符号 【变式训练】　已知sin α+3cos α=0,求sin α,cos α的值。 解　因为sin α+3cos α=0,所以sin α=-3cos α。又sin2α+cos2α=1,所以(-3cos α)2+cos2α=1,即10cos2α=1,所以cos α=±。又由sin α=-3cos α,可知sin α与cos α异号,所角α的终边在第二或第四象限。所以当角α的终边在第二象限时,cos α=-,sin α=;当角α的终边在第四象限时,cos α=,sin α=-。 类型二　灵活应用同角三角函数的基本关系式求值 　　【例2】　(1)已知=2,计算下列各式的值。 ①; ②sin2α-2sin αcos α+1。 解　由=2,化简,得sin α=3cos α,所以tan α=3。 ①原式===。 ②原式=+1=+1=+1=。 (2)已知sin α+cos α=,α∈(0,π),求tan α的值。 解　因为sin α+cos α=①,所以sin2α+cos2α+2sin αcos α=,即2sin αcos α=-。因为α∈(0,π),所以sin α>0,cos α<0。所以sin α-cos α===②。由①②解得sin α=,cos α=-,所以tan α==-。 　　(1)已知tan α=m,求关于sin α,cos α的齐次式的值,解决这类问题需注意以下两点:①一定是关于sin α,cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式;②因为cos α≠0,所以可除以cos α的最高次幂,这样可将被求式化为关于tan α的表示式,然后代入tan α=m的值,从而完成被求式的求值。 (2)sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α三个式子中,已知其中一个,可以求其他两个,即“知一求二”,它们之间的关系是:(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α。 提醒:求sin α+cos α或sin α-cos α的值,要注意根据