4 习题课 三角恒等变换与三角函数、解三角形的综合-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修(第二册)（北师大版）

习题课　三角恒等变换与三角函数、解三角形的综合 　 类型一　三角恒等变换与三角函数性质的综合 　　【例1】　已知函数f(x)=cos4x+2sin xcos x-sin4x。 (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)求函数f(x)在区间-,上的最小值和最大值。 解　(1)f(x)=cos4x-sin4x+2sin xcos x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)+2sin xcos x=cos 2x+sin 2x=sin2x+,所以函数f(x)的最小正周期T==π。 (2)当x∈-,时,2x+∈-,,所以当2x+=,即x=时,函数f(x)取得最大值,当2x+=-,即x=-时,函数f(x)取得最小值-1。 　　解决此类综合应用问题时,要先利用三角恒等变换将所求三角函数式化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,再求其周期、单调区间、最值等问题。 求解时需要注意以下两点:(1)若函数解析式中出现二倍角、半角或三角函数值的平方,则要利用二倍角公式、半角公式升幂或降幂,将解析式化为关于同一个角的三角函数式。(2)注意辅助角公式的应用,并记住几个常用的式子:sin α±cos α=sinα±,sin α±cos α=2sinα±,sin α±cos α=2sinα± 【变式训练】　设f(x)=4cosωx-sin ωx-cos(2ωx+π),其中ω>0。 (1)求函数f(x)的值域; (2)若f(x)在区间-,上单调递增,求ω的最大值。 解　(1)f(x)=4cos ωx+sin ωxsin ωx+cos 2ωx=2sin ωxcos ωx+2sin2ωx+cos2ωx-sin2ωx=sin 2ωx+1(ω>0)。因为-1≤sin 2ωx≤1,所以函数f(x)的值域为[1-,1+]。 (2)因为y=sin x在区间2kπ-,2kπ+(k∈Z)上单调递增,所以f(x)=sin 2ωx+1(ω>0)在区间-,+(k∈Z)上单调递增。依题意,知-,⊆-,+对某个k∈Z成立,此时必有k=0,于是所以ω≤,故ω的最大值为。 类型二　三角恒等变换与解三角形的综合 　　【例2】　已知△ABC三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,tan B+tan C=。 (1)求角A的大小; (2)当a=2时,求△ABC周长的最大值。 解　(1)因为tan B+tan C=,所以+====,所以sin A=cos A,所以tan A=,又0<A<π,所以A=。 (2)由正弦定理==,得b==sin B,c==sin C=sin-B,所以b+c=sin B+sin-B=4sinB+,所以当B+=,即B=时,b+c取得最大值,为4。所以△ABC周长的最大值为4+2=6。 　　(1)解三角形的实质是解方程,利用正弦、余弦定理,通过边、角互化,建立未知量的代数方程或三角方程。(2)三角形内角和定理在判断角的范围、转化三角函数、检验所求角是否符合题意等问题中有着重要的作用 【变式训练】　△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c。设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C。 (1)求A; (2)若a+b=2c,求sin C。 解　(1)由已知条件,得sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,故由正弦定理,得b2+c2-a2=bc。由余弦定理,得cos A==。因为0°<A<180°,所以A=60°。 (2)由(1)知B=120°-C,由题意及正弦定理,得sin A+sin(120°-C)=2sin C,即+cos C+sin C=2sin C,可得cos(C+60°)=-。因为0°<C<120°,所以sin(C+60°)=,故sin C=sin(C+60°-60°)=sin(C+60°)cos 60°-cos(C+60°)sin 60°=。 　 1.函数f(x)=cos x-sin x的一个单调递增区间是 (　　) A.[π,2π] B., C.-, D., 解析　f(x)=cos x-sin x=2cosx+,令-π+2kπ≤x+≤2kπ,k∈Z,解得-+2kπ≤x≤2kπ-,k∈Z。令k=1,可得≤x≤,即,是函数f(x)的一个单调递增区间。故选D。 答案　D 2.(多选)使函数f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)为奇函数的θ可以是 (　　) A. B.- C. D. 解析　f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)=2sin2x++θ。当θ=-时,f(x)=2sin2x+-=2sin2x是奇函数。当θ=时,f(x)=2sin(2x+π)=-2sin 2x是奇函数。 答案　BD 3.函数f(x)=sin22x的最小正周期是　　　　。  解析　因为f(x)=sin22x=(1-cos 4x