高考中基本不等式的9类考法专题讲义-2024届高三数学二轮复习

高考中基本不等式的9类考法 1.基础运用类型 1.基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号. 2.几个重要的不等式 （1）（2）基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”).特例：（同号）. 3.均值定理 已知. （1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”. （2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致. 【例1】下列函数中最小值为4的是（       ） A． B． C． D． 2重要不等式串应用（二级结论） 重要不等式串：即（背下来考试很好用） 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 证明：《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据根据这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点（不同于A，B，），点D在半圆O上，且，于点设，，则该图形可以完成的“无字证明”为（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD【详解】连接AD，BD，在上取一点，使得，连接， 由， 根据图像，在中，由相似三角形可知：，即， 又，同理，在中，由相似三角形可知：， 即，因为 由勾股定理可知：， 选项A，由图像可知，，所以，选项A正确； 选项B，由图像可知，，所以，选项B错误； 选项C，由图像可知，，所以，选项C正确； 选项D，由图像可知，，所以，选项D正确；故选：ACD. 【例1】（重要不等式串）设,则的最大值为 ________． 【例2】对任意x，y，，的最大值__________ 3 多次运用基本不等式 多次运用基本不等式值得再一次强调的是：所有等号成立的条件需要一致。如果这些取等号的条件不一致,则最终的结果一般是错误的。 【例1】.若，则的最小值为____________． 练1.若，，则的最小值为___________. 练习2.设，则的最小值是 A．2 B．4 C． D．5 4. 和积互换 出现或和的不等式题型； 【例1】若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】设求最小值． 【例3】．已知a，，且，则的最大值为（       ） A．2 B．3 C． D． 练1.若，，且，则的最小值为（       ） A．9 B．16 C．49 D．81 练2.已知，，且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 练3.若正实数，满足，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 练4.已知，则的最小值是（       ） A．2 B． C． D．3 练5.（多选题）设，且，那么（ ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最大值 D．有最小值 练6.已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是 A．3 B．4 C． D． 练7.若实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 练8.若正实数，满足，且存在实数，使不等式成立，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 5. 配凑与对勾函数 易化简成（图像形如两对弯钩，故称对勾函数）的题目，一般x有范围，且使用基本不等式时取等条件的x不在定义域内； 对函数求导即可知： 取最值的时候x值实际就是基本不等式的取等条件； （1）时，取等的x值直接令求出即可；函数为奇函数 ，如图可知值域为，渐近线为（高一不管） （2）时，取等的x值直接令求出即可；函数为奇函数 ，如图可知值域为，渐近线为（高一不管） 【例1】求y的最大值时k等于多少？ 【例2】S求S的最大值时t等于多少？ 【例3】函数的最小值为（ ） A． B． C． D． 【例4】已知x<，求f(x)＝4x－2＋的最大值 【例5】若，则函数的最小值为___________. 【例6】函数的最小值是___________. 练1.函数的最小值是（       ） A．B．C．D． 练2.若 ，则有（       ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 练3.函数的最小值为（    ） A．2 B． C．1 D．不存在 练4.)求S的最大值时k等于多少？ 6. 消元法 消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程