直线与圆的常考的八种模型 讲义-2024届高三数学二轮复习

直线与圆的常考的八种模型 模型一：圆上的点到圆外直线和点距离的最值问题 1．圆外一点到圆上任意一点距离的最小值＝d－r，最大值＝d＋r. 2．直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值＝d－r，最大值＝d＋r. 例1.设P、Q分别是圆和椭圆上的点，则两点间的最大距离是( 　 )． A． B． C． D． 例2.　已知点O(0,0)，A(0,2)，点M是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，则△OAM面积的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 模型二：过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值问题 3.过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值＝2，最大值＝2r. 例3.　过点作圆的弦，其中弦长为整数的共有( 　 )． A．16条 B．17条 C．32条 D．34条 例4.　当直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)被圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25截得的弦最短时 m的值为________． 模型三：直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长最值问题 4.直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值＝. 例5.　已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0关于直线l：3ax＋2by＋4＝0对称，则由点M(a，b)向圆C所作的切线中，切线长的最小值是(　　) A．2 B. C．3 D. 模型四：切点弦方程（二级结论） 例6.　过点 作圆 的切线, 则切线方程为____。 例7.　过点作圆的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为( 　 )． A． B． C． D． 例8.　在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：，点A是轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围为 ． 模型五：圆的双切线模型及应用（双切线的四边形常常转化为单个直角三角形做题） 如图，从圆外任一点向圆引两条切线，圆心，两切点，我们把线段的长度叫做切线长，设圆的半径为，则四边形具有如下的性质： 1.；. 2.切线长的计算：,当半径给定，切线长最小等价于最小. 3.，当半径给定，四边形最小等价于最小. 例9.已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ） A． B． C． D． 模型六：与圆相关的张角问题. 1.圆上一点、圆心与圆外一点连线的夹角（圆外一点为顶点）中，以这条直线为切线时最大. 2.圆上两点与圆外一点的连线的夹角（圆外一点为顶点）中，以这两条直线为切线时最大 例10.　（多选题）已知点在圆上，点、，则（    ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 例11.设点，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 模型七：几何意义类的与圆有关的最值问题 1.与圆有关的最值问题主要涉及斜率、截距、距离、弦长、面积等. (1)形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线的斜率的最值问题. (2)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题. 求解策略一般是根据所求最值的几何意义找圆心和半径，将数与形结合起来，用平面几何的性质求解. (3)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋截距的最值问题. 例12.　已知实数x和y满足(x＋1)2＋y2＝，试求下列各式的最值： (1)；(2)x2＋y2；(3)x＋y. 总练习 1.直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是 A． B． C． D． 2.在平面直角坐标系xOy中，已知(x1－2)2＋y＝5，x2－2y2＋4＝0，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为(　　) A. B. C. D. 3.在平面直角坐标系xOy中，已知圆，若过原点作两条被圆C截得的弦长为2的直线，则r的取值范围是 ． 4.在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( 　 )． A． B． C． D． 5.过点的直线l将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率 ． 6. 在平面直角坐标系xOy中,已知P(,0),A,B是圆C:x2+(y- )2=36上的两个动点,满足PA=PB,则△PAB面积的最大值是　　　　.  7.在平面直角坐标系 xoy 中， 已知圆C :(x 2)2 (y 2)2 ＝ 20 与x 轴交于 A 、 B（点 A在点 B的左侧），圆C 的弦 MN 过点T(3，4)，分别过 M、